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ÄR und Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Do 10.02.2011
Autor: Cherrykiss

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für gegebenes n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, die durch
R:={(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ: [/mm] n teilt a-b}
gegebene Relation auf  [mm] \IZ \times \IZ [/mm] eine Äquivalenzrelation definiert.

Hallo Matheraum,

bei diese Aufgabe konnte ich bereits die Reflexivität und die Symmetrie zeigen, die für die Äquivalenzrelation notwendigerweise vorhanden sein müssen. Allerdings ist mir nicht klar wie ich die Transitivität zeigen soll.

Wenn man sich ein Beispiel hernimmt erscheint es logisch. Allerdings sind Beispiele nicht als Begründung zugelassen, es sei denn es wären Beispiele, die dies widerlegen.

Durch eine Nachfolgeaufgabe wird deutlich, dass es sehr wahrscheinlich eine Äquivalenzrelation sein muss, da man da die Äquivalenzklassen dieser bestimmen soll.

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen.
LG
Cherrykiss

        
Bezug
ÄR und Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Do 10.02.2011
Autor: Lippel

Nabend,

> bei diese Aufgabe konnte ich bereits die Reflexivität und
> die Symmetrie zeigen, die für die Äquivalenzrelation
> notwendigerweise vorhanden sein müssen. Allerdings ist mir
> nicht klar wie ich die Transitivität zeigen soll.
>
> Wenn man sich ein Beispiel hernimmt erscheint es logisch.
> Allerdings sind Beispiele nicht als Begründung zugelassen,
> es sei denn es wären Beispiele, die dies widerlegen.
>
> Durch eine Nachfolgeaufgabe wird deutlich, dass es sehr
> wahrscheinlich eine Äquivalenzrelation sein muss, da man
> da die Äquivalenzklassen dieser bestimmen soll.
>  
> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich würde mich
> sehr freuen.

Also, wir betrachten $a, b, c [mm] \in \IZ, [/mm] (a,b), (b,c) [mm] \in [/mm] R$. Nun ist zu zeigen: $(a,c) [mm] \in [/mm] R$:
Wir wissen wegen $(a,b), (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \:|\: [/mm] a-b$ und $n [mm] \:|\: [/mm] b-c$.
Es gilt: $a-c = a+(-b+b)+c = (a-b)+(b-c)$.
Da [mm] $n\$ [/mm] beide Summanden auf der rechten Seite teilt, teilt [mm] $n\:$ [/mm] auch die Summe und damit [mm] $a-c\:$. [/mm] Also ist $(a,c) [mm] \in [/mm] R$.

LG Lippel

Bezug
                
Bezug
ÄR und Transitivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Fr 11.02.2011
Autor: Cherrykiss

Vielen Danke, das leuchtet mir ein ;)

LG
Cherrykiss

Bezug
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