adjungierter Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 25.10.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $T\colon X\to [/mm] Y$ ein beschränkter Operator zwischen Banachräumen $X$ und $Y$ und $X'$, $Y'$ sind die jeweiligen Dualräume. Man definiert den adjungierten Operator [mm] $T'\colon Y'\to [/mm] X'$ von $T$ durch
$T'y'(x)=y'(Tx)$.
Zeigen Sie, dass $T'$ wohldefiniert, linear und stetig ist und dass [mm] $\lVert T\rVert=\lVert T'\rVert$ [/mm] (Hinweis: Für [mm] $\lVert T\rVert\leq\lVert T'\rVert$ [/mm] wenden Sie Hahn-Banach an.) |
Hallo! Ich habe mich daran versucht und schreibe mal das auf, was ich habe.
1.) Zu der Identität [mm] $\lVert T\rVert =\lVert T'\rVert$:
[/mm]
Zeige zunächst, dass [mm] $\geq$ [/mm] gilt.
[mm] $\lVert T'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert\leq\underbrace{\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'\rVert}_{\leq 1}\lVert T\rVert\leq\lVert T\rVert$
[/mm]
(Ich habe es zwar verwendet, aber weiß nicht mehr genau, wie man auf die Aussage [mm] $\lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert$ [/mm] kommt. Ist das irgendwie Cauchy-Schwarz? Gibt es es da so eine Aussage für zwei Operatoren?)
Zeige nun, dass auch [mm] $\leq$ [/mm] gilt.
Nach Hahn-Banach ex. [mm] $y'\in [/mm] Y'$ mit [mm] $y'(Tx)=\lVert Tx\rVert$ [/mm] und [mm] $\lVert y'\rVert=1$; [/mm] das wird gleich benötigt:
[mm] $\lVert T\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lVert Tx\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}y'(Tx)\leq\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert$
[/mm]
Nun kann man in diesem Fall die Suprema "tauschen", also es geht weiter mit
[mm] $=\sup\limits_{\lVert y'x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\lVert T'\rVert$
[/mm]
Insgesamt gilt also die Identität.
--------------------
2.) Zu der Linearität:
[mm] $T'y'(\alpha x_1+\beta x_2)=y'(T(\alpha x_1+\beta x_2))$
[/mm]
Wegen der Linearität von $T$ gilt
[mm] $=y'(\alpha T(x_1)+\beta T(x_2))$
[/mm]
Wegen der Linearität von $y'$ geht es weiter mit
[mm] $=\alpha y'(Tx_1)+\beta y'(Tx_2)=\alpha T'y'(x_1)+\beta T'y'(x_2)$
[/mm]
---------------------------
3.) Zu der Stetigkeit: Zu zeigen ist doch, dass es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass [mm] $\lVert T'y'\rVert\leq C\cdot\lVert y'\rVert$. [/mm] Das habe ich mir so vorgestellt:
[mm] $\lVert T'y'\rVert [/mm] = [mm] \lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert$ [/mm] und ist nicht nun, da $T$ beschränkter Operator sein soll [mm] $\lVert T\rVert <\infty$ [/mm] und damit die hier gesuchte Konstante $C$?
-------------------------
4.) Was muss ich für die Wohldefiniertheit zeigen? Ich kann damit gerade nichts anfangen...
Vielen Dank für das Durchlesen.
mikexx
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]T\colon X\to Y[/mm] ein beschränkter Operator zwischen
> Banachräumen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] und [mm]X'[/mm], [mm]Y'[/mm] sind die jeweiligen
> Dualräume. Man definiert den adjungierten Operator
> [mm]T'\colon Y'\to X'[/mm] von [mm]T[/mm] durch
>
> [mm]T'y'(x)=y'(Tx)[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]T'[/mm] wohldefiniert, linear und stetig ist
> und dass [mm]\lVert T\rVert=\lVert T'\rVert[/mm] (Hinweis: Für
> [mm]\lVert T\rVert\leq\lVert T'\rVert[/mm] wenden Sie Hahn-Banach
> an.)
> Hallo! Ich habe mich daran versucht und schreibe mal das
> auf, was ich habe.
>
> 1.) Zu der Identität [mm]\lVert T\rVert =\lVert T'\rVert[/mm]:
>
> Zeige zunächst, dass [mm]\geq[/mm] gilt.
>
> [mm]\lVert T'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert\leq\underbrace{\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'\rVert}_{\leq 1}\lVert T\rVert\leq\lVert T\rVert[/mm]
Das ist O.K. Aber vorher solltes Du die Stetigkeit und Linearität von T' zeigen, denn sonst kannst Du nicht von ||T'|| reden.
>
> (Ich habe es zwar verwendet, aber weiß nicht mehr genau,
> wie man auf die Aussage [mm]\lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert[/mm]
> kommt. Ist das irgendwie Cauchy-Schwarz? Gibt es es da so
> eine Aussage für zwei Operatoren?)
Ja: sind X,Y,Z normierte Räume und sind T:X [mm] \to [/mm] Y und S:Y [mm] \to [/mm] Z stetige lineare Operatoren ,
so gilt für die Verkettung S [mm] \circ [/mm] T:
$||S [mm] \circ [/mm] T|| [mm] \le [/mm] ||S||*||T||$
>
> Zeige nun, dass auch [mm]\leq[/mm] gilt.
> Nach Hahn-Banach ex. [mm]y'\in Y'[/mm] mit [mm]y'(Tx)=\lVert Tx\rVert[/mm]
> und [mm]\lVert y'\rVert=1[/mm]; das wird gleich benötigt:
>
> [mm]\lVert T\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lVert Tx\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}y'(Tx)\leq\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert[/mm]
Nein , so nicht das y' hängt doch von x ab !
Mach es so:
Sei x [mm] \in [/mm] X. Dann gibt es nach Hahn Banach ein y' [mm] \in [/mm] Y' mit
||y'||=1 und y'(Tx)=||Tx||.
Dann folgt: $||Tx||=|y'(Tx)|=|(T'y')(x)| [mm] \le [/mm] ||T'y'||*||x|| [mm] \le [/mm] ||T'||*||y'||*||x||=||T'||*||x||$
Damit ist ||T|| [mm] \le [/mm] ||T'||
>
> Nun kann man in diesem Fall die Suprema "tauschen", also es
> geht weiter mit
>
> [mm]=\sup\limits_{\lVert y'x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\lVert T'\rVert[/mm]
>
> Insgesamt gilt also die Identität.
>
> --------------------
>
> 2.) Zu der Linearität:
>
> [mm]T'y'(\alpha x_1+\beta x_2)=y'(T(\alpha x_1+\beta x_2))[/mm]
>
> Wegen der Linearität von [mm]T[/mm] gilt
>
> [mm]=y'(\alpha T(x_1)+\beta T(x_2))[/mm]
>
> Wegen der Linearität von [mm]y'[/mm] geht es weiter mit
>
> [mm]=\alpha y'(Tx_1)+\beta y'(Tx_2)=\alpha T'y'(x_1)+\beta T'y'(x_2)[/mm]
>
Nee, das ist Kappes ! Zeigen sollst Du:
[mm] T'(\alpha y_1'+ \beta y_2')= \alpha T'y_1'+ \beta T'y_2'
[/mm]
> ---------------------------
>
> 3.) Zu der Stetigkeit: Zu zeigen ist doch, dass es eine
> Konstante [mm]C>0[/mm] gibt, sodass [mm]\lVert T'y'\rVert\leq C\cdot\lVert y'\rVert[/mm].
> Das habe ich mir so vorgestellt:
>
> [mm]\lVert T'y'\rVert = \lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert[/mm]
> und ist nicht nun, da [mm]T[/mm] beschränkter Operator sein soll
> [mm]\lVert T\rVert <\infty[/mm] und damit die hier gesuchte
> Konstante [mm]C[/mm]?
Ja, und damit hast Du auch: ||T'|| [mm] \le [/mm] ||T||
>
> -------------------------
>
> 4.) Was muss ich für die Wohldefiniertheit zeigen? Ich
> kann damit gerade nichts anfangen...
Für x [mm] \in [/mm] X ist Tx [mm] \in [/mm] Y und y' ist ein stetiges lineares Funktional auf Y, damit ist y'(Tx) definiert.
FRED
>
>
>
>
>
> Vielen Dank für das Durchlesen.
>
> mikexx
|
|
|
|
