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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und G die additive Gruppe [mm] \IZ/p\IZ [/mm] x [mm] \IZ/p\IZ
[/mm]
a) Wieviele Untergruppen der Ordnung p besitzt G?
b) Seien x,y [mm] \in [/mm] G mit [mm] x\not=y [/mm] gegeben.Man zeige, dass es genau eine Untergruppe H [mm] \subset [/mm] G der Ordnung p gibt, für die x + H = y + H gilt. |
Hallo an alle!
Ich habe erst mal eine allgemeine Frage; Was genau stell ich mir denn unter der additiven Gruppe [mm] \IZ/p\IZ [/mm] x [mm] \IZ/p\IZ [/mm] vor?
Kann mir da jemand vielleicht ein einfaches Beispiel dazu geben?
vielen Dank schon mal
lg
chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Chrissi!
> Sei p eine Primzahl und G die additive Gruppe [mm]\IZ/p\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/p\IZ[/mm]
> a) Wieviele Untergruppen der Ordnung p besitzt G?
> b) Seien x,y [mm]\in[/mm] G mit [mm]x\not=y[/mm] gegeben.Man zeige, dass es
> genau eine Untergruppe H [mm]\subset[/mm] G der Ordnung p gibt, für
> die x + H = y + H gilt.
>
> Ich habe erst mal eine allgemeine Frage; Was genau stell
> ich mir denn unter der additiven Gruppe [mm]\IZ/p\IZ[/mm] x [mm]\IZ/p\IZ[/mm]
> vor?
Am besten einen zweidimensionalen [mm] $\IZ/p\IZ$-Vektorraum.
[/mm]
Eine Untergruppe der Ordnung $p$ ist ein eindimensionaler Unterraum. $x + H$ ist somit ein eindimensionaler affiner Unterraum, sprich: eine Gerade. Du sollst also zeigen: durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Hilft dir das etwas weiter?
LG Felix
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Ich häng auch an dieser Aufgabe.
Muss das neutrale Element (wenn ich das richtig verstehe, ist es (0,0))
in jeder Untergruppe enthalten sein?
Nehmen wir mal als Beispiel p=2.
Dann haben wir G = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
Dann hätten wir 3 Untergruppen der Ordnung 2:
[mm] U_1: [/mm] {(0,0),(0,1)}
[mm] U_2: [/mm] {(0,0),(1,0)}
[mm] U_3: [/mm] {(0,0),(1,1)}
Abgeschlossen ist jede dieser Untergruppen, da jedes Element selbst sein inverses ist.
Wenn man sich weitere Beispiele anschaut, lässt das p+1 vermuten, denn:
Ohne (0,0) sind es [mm] p^2-1 [/mm] Elemente, wobei man jeweils p-1 Elemente mit (0,0) zu einer Untergruppe zusammenfasst.
Also [mm] \frac{p^2-1}{p-1}=p+1
[/mm]
Wenn zwei Geraden mit unterschiedlichen Anfangsvektoren, aber gleichen Richtungen gleich sind, dann ist die Differenz der Anfangsvektoren die Richtung selbst.
Damit also x+H = y+H gilt, muss x-y [mm] \in [/mm] H gelten. Und genau diese eine Untergruppe ist es, es gibt keine andere, denn man könnte ja als Differenz auch y-x betrachten, aber das ist das inverse von x-y und muss auch in H liegen, weil H ja eine Untergruppe ist.
Soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 05.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich häng auch an dieser Aufgabe.
> Muss das neutrale Element (wenn ich das richtig verstehe,
> ist es (0,0))
> in jeder Untergruppe enthalten sein?
Genau.
> Nehmen wir mal als Beispiel p=2.
>
> Dann haben wir G = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
> Dann hätten wir 3 Untergruppen der Ordnung 2:
> [mm]U_1:[/mm] {(0,0),(0,1)}
> [mm]U_2:[/mm] {(0,0),(1,0)}
> [mm]U_3:[/mm] {(0,0),(1,1)}
Oder anders gesagt: zu jedem Element [mm] $\neq [/mm] 0$ gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung $p$, welches dieses enthaelt, naemlich die davon erzeugte.
> Abgeschlossen ist jede dieser Untergruppen, da jedes
> Element selbst sein inverses ist.
Ja.
> Wenn man sich weitere Beispiele anschaut, lässt das p+1
> vermuten, denn:
> Ohne (0,0) sind es [mm]p^2-1[/mm] Elemente, wobei man jeweils p-1
> Elemente mit (0,0) zu einer Untergruppe zusammenfasst.
> Also [mm]\frac{p^2-1}{p-1}=p+1[/mm]
Das stimmt sogar: jeweils $p - 1$ Elemente erzeugen die gleiche Untergruppe der Ordnung $p$.
> Wenn zwei Geraden mit unterschiedlichen Anfangsvektoren,
> aber gleichen Richtungen gleich sind, dann ist die
> Differenz der Anfangsvektoren die Richtung selbst.
> Damit also x+H = y+H gilt, muss x-y [mm]\in[/mm] H gelten. Und
> genau diese eine Untergruppe ist es, es gibt keine andere,
> denn man könnte ja als Differenz auch y-x betrachten, aber
> das ist das inverse von x-y und muss auch in H liegen, weil
> H ja eine Untergruppe ist.
Genau.
Zeige: die von einem Element [mm] $\neq [/mm] 0$ erzeugte Untergruppe hat Ordnung $p$.
Daraus folgt dann die Behauptung mit dem, was du gesagt hast.
LG Felix
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Nur weiß ich noch nicht so ganz, wie ich das zeigen soll.
Man hat ja G in die p+1 Untergruppen aufgeteilt. Und H ist halt die Untergruppe, wo x-y drinliegt. Es gibt ja nur Untergruppen der Ordnung p, andere gibts nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 07.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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