absteigende Kettenbedingung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Do 14.02.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | | Zeige: Erfüllt ein Integritätsring R die absteigende Kettenbedingung für zyklische Ideale, so ist R bereits ein Körper. |
Hallo ihr,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bräuchte umbedingt eure Hilfe!
Ein Integritätsring ist nullteilerfrei.
Ein Körper ist auch nullteilerfrei, besitzt aber zu jedem Element ein multiplikatives Inverses.
Für den Integritätsring gilt die absteigende Kettenbedingung, d.h.
wir haben ein Element für das die Kette konstant wird, so dass alle kleineren Ideale gleich diesem Element sind. ...[mm]\subsetteq I_k \subseteq I_m\subsetteq[/mm]....[mm]I_2\subseteq I_1[/mm]
Die Elemente der absteigende Kette sind zyklische Ideale, also besteht die Kette aus Hauptidealen.
Aber warum folgt daraus dann, dass es ein Körper ist? Ein Körper hat doch keine echten Ideale, sondern nur Primideale?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Fr 15.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeige: Erfüllt ein Integritätsring R die absteigende
> Kettenbedingung für zyklische Ideale, so ist R bereits ein
> Körper.
> Ein Integritätsring ist nullteilerfrei.
> Ein Körper ist auch nullteilerfrei, besitzt aber zu jedem
> Element ein multiplikatives Inverses.
>
> Für den Integritätsring gilt die absteigende
> Kettenbedingung, d.h.
> wir haben ein Element für das die Kette konstant wird, so
> dass alle kleineren Ideale gleich diesem Element sind.
> ...[mm]\subsetteq I_k \subseteq I_m\subsetteq[/mm]....[mm]I_2\subseteq I_1[/mm]
>
> Die Elemente der absteigende Kette sind zyklische Ideale,
> also besteht die Kette aus Hauptidealen.
> Aber warum folgt daraus dann, dass es ein Körper ist? Ein
> Körper hat doch keine echten Ideale, sondern nur
> Primideale?
Sei also a [mm] \not= [/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du die Kette der Ideale [mm] (a^{n}). [/mm] Diese ist absteigend und wird stationär. Also ist für ein n [mm] (a^{n}) [/mm] = [mm] (a^{n+1}). [/mm] Das heißt aber, es gibt ein r mit [mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{n+1}*r. [/mm] Rest für dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 15.02.2008 | | Autor: | gnom |
> Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du
> die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm] Rest für
> dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.
Vielen, vielen Dank für die Informationen!!!
es gibt ein r [mm]\in R[/mm] mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]
wegen Integritätsring gilt Nullteilerfreiheit, ist also [mm]a\not=0 \Rightarrow a^n\not=0[/mm]
also ist 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm]
Warum folgt 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm] ? Ist es deshalb, weil wir keine Nullteiler haben, muss der kommutative Ring nur aus Einheiten bestehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 15.02.2008 | | Autor: | gnom |
Wenn wir wissen, dass es ein kommutativer Ring ist der die absteigende Kettenbedingung erfüllt für zyklische Ideale. Dann wissen wir auch, dass die Kette der Ideale stationär wird.
Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du
> die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]
Wenn man hier zeigen möchte, dass jedes Primideal ein maximales Ideal ist.
Für ein Primideal gilt: Sei a,b [mm]\in R[/mm] und a*b[mm]\in I[/mm] Dann muss a[mm]\in I[/mm] oder b[mm]\in I[/mm] sein.
Wenn ich zeige, dass jedes Ideal im kommutativen Ring ein Primideal ist-->das R ein Körper ist--> jeder Körper ist ein faktorieller Ring und dann besitzt er nur maximale Ideale-->jedes maximale Ideal ist ein Primideal.
Wäre die Beweisidee so richtig oder liege da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 15.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
das ist mit meiner anderen Antwort erledigt, weil R ein Körper sein muß.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Fr 15.02.2008 | | Autor: | statler |
> > Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du
> > die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> > stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> > heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm] Rest für
> > dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.
> es gibt ein r [mm]\in R[/mm] mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]
> wegen Integritätsring gilt Nullteilerfreiheit, ist also
> [mm]a\not=0 \Rightarrow a^n\not=0[/mm]
> also ist 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm]
> Warum folgt 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm] ? Ist es deshalb, weil wir keine
> Nullteiler haben, muss der kommutative Ring nur aus
> Einheiten bestehen?
Mahlzeit!
Das läuft in Integritätsringen immer nach demselben Schema. Es ist
[mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{n+1}*r \gdw a^{n} [/mm] - [mm] a^{n+1}*r [/mm] = 0 [mm] \gdw a^{n}*(1 [/mm] - a*r) = 0 [mm] \gdw [/mm] 1 - a*r = 0 (wg. [mm] a^{n} \not= [/mm] 0) [mm] \gdw [/mm] 1 = a*r
Gruß
Dieter
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