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Hallo,
muss bis morgen auch eine Abstandsberechnung zweier windschiefer Geraden machen und war gerade sehr froh, hier Hilfe zu finden, komme jedoch nicht mehr weiter.
Ich habe zwei Geraden:
[mm] a:\vec{x}=\vektor{0,3 \\ 0,6 \\ -1,2} [/mm] + [mm] g*\vektor{4 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
[mm] b:\vec{x}=\vektor{1,8 \\ -2,4 \\ 0} [/mm] + [mm] g*\vektor{4 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
nun habe ich, wie beschrieben
[mm] \vec{u}*\vec{n}=o
[/mm]
[mm] \vec{v}*\vec{n}=o
[/mm]
aufgeschrieben, das sieht dann so aus:
[mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 2} [/mm] * [mm] *\vektor{n1 \\ n2 \\ n3} [/mm] = 0
[mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 1} [/mm] * [mm] *\vektor{n1 \\ n2 \\ n3} [/mm] = 0
nun komme ich nicht weiter. Wie löse ich diese Gleichungssysteme nun auf?
Es wäre wirklich super, wenn mir jemand den Rest der Aufgabe ausführlich erklären könnte, ich glaube ich habe einfach eine Blockade die durchbrochen werden muss.
Vielen Dank schonmal!
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Hallöchen ;)
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> Ich habe zwei Geraden:
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> [mm]a:\vec{x}=\vektor{0,3 \\ 0,6 \\ -1,2}[/mm] + [mm]g*\vektor{4 \\ -3 \\ 2}[/mm]
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> [mm]b:\vec{x}=\vektor{1,8 \\ -2,4 \\ 0}[/mm] + [mm]g*\vektor{4 \\ -3 \\ 1}[/mm]
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> nun habe ich, wie beschrieben
>
> [mm]\vec{u}*\vec{n}=o[/mm]
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> [mm]\vec{v}*\vec{n}=o[/mm]
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> aufgeschrieben, das sieht dann so aus:
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> [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 2}[/mm] * [mm]*\vektor{n1 \\ n2 \\ n3}[/mm] = 0
>
> [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 1}[/mm] * [mm]*\vektor{n1 \\ n2 \\ n3}[/mm] = 0
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> nun komme ich nicht weiter. Wie löse ich diese
> Gleichungssysteme nun auf?
Prinzipiell hast du ja schon alles hingeschrieben, was du brauchst. Du hast zwei Möglichkeiten, um einen n-Vektor zu kreieren, entweder mit Hilfe des Vektorproduktes, das ihr als GK aber nicht lernen werdet, oder eben mithilfe dieser zwei Gleichungen. Ziel ist es in so einem Fall, eine Variable beliebig zu setzen und die zwei anderen dann dementsprechend aufzulösen. Du hast so eine große Vielzahl von möglichen n-Vektoren. Für deine Gleichungen heißt das:
[mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 2}[/mm] * [mm]*\vektor{n1 \\ n2 \\ n3}[/mm] = 0
[mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 1}[/mm] * [mm]*\vektor{n1 \\ n2 \\ n3}[/mm] = 0
[mm]I \Rightarrow 4*n_1-3*n_2+2*n_3=0 [/mm]
[mm]II \Rightarrow 4*n_1-3*n_2+n_3=0 [/mm]
Jetzt vereinfachen wir noch durch Subtraktion:
[mm]I-II \Rightarrow n_3=0 [/mm]
Hiermit haben wir einen Sonderfall. Normalerweise würde nur eine Variable wegfallen und du müsstest an dieser Stelle für eine der beiden übrigen Variablen eine beliebige Zahl setzen! Nur mal allgemein erwähnt...
In diesem Fall ist jedoch [mm] n_3=0
[/mm]
Das bedeutet für die Ausgangsgleichungen:
[mm]I \Rightarrow 4*n_1-3*n_2=0 [/mm]
[mm]II \Rightarrow 4*n_1-3*n_2=0 [/mm]
Jetzt kannst du eben hier eine Variable beliebig setzen. Es bietet sich an [mm] n_2=4 [/mm] zu setzen :
[mm]I \Rightarrow 4*n_1-3*4=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow 4*n_1=12 [/mm]
[mm] \Rightarrow n_1=3 [/mm]
Somit hast du deinen n-Vektor mit: [mm]\vec n=\vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
Jetzt kannst du die Abstandsformel mit [mm]d=|( \vec p - \vec x)*\vec n_0|[/mm] ausführen, nachdem du deinen Normalenvektor normiert hast.
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