abstand punkt von der ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 22.10.2006 | | Autor: | rzamania |
hey ich habe wieder maql ne frage...
hab im internet nur allgemeines dazu gefunden...
ok das thema is sehr aus meien gedächtnis verschwunden...
und zwar muss ich den abstand des punktes von folgender ebene rausfinden...
P(-1/2/1)
E: (2/0/1)+n(0/1/2)+(2/1/3)
wie geh ich da nochmal vor??
gruss andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> hey ich habe wieder maql ne frage...
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> hab im internet nur allgemeines dazu gefunden...
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> ok das thema is sehr aus meien gedächtnis verschwunden...
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> und zwar muss ich den abstand des punktes von folgender
> ebene rausfinden...
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> P(-1/2/1)
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> E: (2/0/1)+n(0/1/2)+(2/1/3)
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> wie geh ich da nochmal vor??
>
> gruss andreas
Hallo Andreas und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Es gibt mehrere Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.
Der einfachste Weg ist m.E. nach der Weg über die Normalenform der Ebebe.
Diese wäre in deinem Fall:
E: [mm] \vec{x}*\vektor{1\\4\\-1}=1
[/mm]
Den Normanlenvektor habe ich per Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren errechnet.
Jetzt kannst du die Gerade g berechnen, die Senkrecht auf E steht und durch p geht.
Also g: [mm] \vektor{-1\\2\\1}+\lambda\vektor{1\\4\\-1}
[/mm]
Wenn du jetzt den Durchstosspunkt F der Geraden auf der Ebene berechnest, bist du fast fertig.
Dazu mal g in E einsetzen
[mm] \vektor{-1+\lambda\\2+4\lambda\\1-\lambda}*\vektor{1\\4\\-1}=1
[/mm]
[mm] \gdw (-1+\lambda)*1+(2+4\lambda)*4+(1-\lambda)*(-1)=1
[/mm]
[mm] \gdw 6+6\lambda=1
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=-\bruch{5}{6}
[/mm]
Also ist [mm] \vec{f}=\vektor{-1\\2\\1}-\\bruch{5}{6}\vektor{1\\4\\-1}
[/mm]
Jetzt musst du die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] berechnen. Diese ist dein gesuchter Abstand.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 22.10.2006 | | Autor: | rzamania |
ist das kreuzprodukt nicht (-1/-4/1)???????
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ich habe für [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \red{+}4 \\ -2}, [/mm] falls der 2. Spannvektor [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] ist (da fehlt nämlich der Parameter).
@M.Rex: also ich finde das ganz schön umständlich, die Hesseform würde sich doch viel eher anbieten...
Gruß
Slartibartfast
edit: sorry, kleiner Dreher ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 So 22.10.2006 | | Autor: | rzamania |
meinst du nicht (1/4/-2)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo rzamania,
> meinst du nicht (1/4/-2)?
Sicherlich.
Hab zwar nicht alles nachgerechnet, aber die Probe mittels Skalarprodukt bestätigt, dass (1/-4/-2) nicht senkrecht zum zweiten Spannvektor steht.
Und zu Deiner vorherigen Frage bzgl. Kreuzprodukt: Ich schätze, Marius hat die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert, dann kehrt sich ja das Vorzeichen des Kreuzproduktes um:
[mm] $\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b = - [mm] (\vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] a )$
Schöne Grüße,
ardik
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