absolute konvergenz .... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Fr 29.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | habe mal eine allgemeine frage:
wann verwende ich das wurzelkriterium und wann das quotienten kriterium
und wann verwende ich das normale bei ner geometrischen reihe dieses
[mm] 1-q^n [/mm] / 1-q
aufgabe : [mm] \summe_{i=-2}^{\infty} (1/3)^k [/mm] |
mit was geh ich zb. bei der aufgabe dran wenn ich absolute konvergenz wissen möchte .
danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Fr 29.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
[mm] (1/3)^i [/mm] natürlich sorry
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> habe mal eine allgemeine frage:
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> wann verwende ich das wurzelkriterium und wann das
> quotienten kriterium
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> und wann verwende ich das normale bei ner geometrischen
> reihe dieses
> [mm]1-q^n[/mm] / 1-q
>
>
> aufgabe : [mm]\summe_{i=-2}^{\infty} (1/3)^i[/mm]
> mit was geh ich
> zb. bei der aufgabe dran wenn ich absolute konvergenz
> wissen möchte .
Also zunächst: der genaue Anfangsindex (hier [mm]-2[/mm]) ist nicht erheblich. Für Konvergenz oder Divergenz ist jeweils nur das Verhalten der Reststücke [mm]\sum_{i=i_0}^\infty a_n[/mm] für [mm]i_0\rightarrow\infty[/mm] massgeblich.
Des weiteren: das Wurzelkriterium ist etwas stärker als das Quotientenkriterium (betrachte als Beispiel etwa die Reihe [mm]\sum_{i=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{k+(-1)^k}[/mm]), dafür ist das Quotientenkriterium manchmal angenehmer in der Anwendung.
Aber beide, Wurzel- und Quotientenkriterium beruhen darauf, dass das Verhalten der besagten Reststücke mit Reststücken einer geometrischen Reihe [mm]\sum_i^\infty C q^i[/mm] mit [mm]0\leq q < 1[/mm] als konvergenter Majorante verglichen wird. Daher ist Dein Beispiel etwas unglücklich gewählt: den es handelt sich ja bereits um eine offensichtlich konvergente geometrische Reihe ([mm]q := \frac{1}{3}[/mm]). Ihr Wert ist, nebenbei bemerkt, [mm]\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 29.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ok danke
was bedeutet denn ihr "wert" was hast du genau gemacht
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> ok danke
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> was bedeutet denn ihr "wert" was hast du genau gemacht
Na, der Wert einer unendlichen Reihe [mm]\sum_{n=n_0}a_n[/mm] ist der Grenzwert ihrer "Partialsummen": [mm]\sum_{n=n_0}a_n=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=n_0}^N a_n[/mm].
Im Falle Deiner Reihe habe ich einfach folgendes überlegt:
[mm]\sum_{n=-2}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}+\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=0}^N\left(\frac{1}{3}\right)^n=9+3+\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{3}}=9+3+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{2}[/mm]
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