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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Sa 15.01.2005 | | Autor: | babydoll |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hey, wir haben uns jetzt in der letzten zeit auf der FOS mit ableitungen beschäftigt. Das Problem ist im Grunde eine Zusammenstellung der einzelnen "eigenschaften" der Ableitungen. Wir haben zwar aufgeschrieben, dass beispielsweise die Schnittpunkte der ersten Ableitung mit der x-Achse zeigen, dass dort Extremwerte bzw. Schnitt- oder Berührpunkte liegen, aber der rest ist unklar. Ich wollte eigentlich mit Hilfe unseres Buches eine Zusammenstellung der einzelnen Bedeutungen machen, problem ist nur, dass das Buch extremst unübersichtlich ist und ich mich überhaupt nicht zurecht finde.
Würde mich freuen wenn mir irgend jemand, der die einzelnen eigenschaften der 1.+2.+3.Ableitung kennt weiterhelfen könnte.
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Hallo babydoll!
Also erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hey, wir haben uns jetzt in der letzten zeit auf der FOS
> mit ableitungen beschäftigt. Das Problem ist im Grunde eine
Was ist denn FOS? Ist das eine Schulform?
> Zusammenstellung der einzelnen "eigenschaften" der
> Ableitungen. Wir haben zwar aufgeschrieben, dass
> beispielsweise die Schnittpunkte der ersten Ableitung mit
> der x-Achse zeigen, dass dort Extremwerte bzw. Schnitt-
> oder Berührpunkte liegen, aber der rest ist unklar. Ich
> wollte eigentlich mit Hilfe unseres Buches eine
> Zusammenstellung der einzelnen Bedeutungen machen, problem
> ist nur, dass das Buch extremst unübersichtlich ist und ich
> mich überhaupt nicht zurecht finde.
> Würde mich freuen wenn mir irgend jemand, der die
> einzelnen eigenschaften der 1.+2.+3.Ableitung kennt
> weiterhelfen könnte.
Also: die Ableitung gibt ja immer die Steigung an. Das heißt, die 1. Ableitung sagt etwas über die Steigung deiner Funktion, von der du die Ableitung berechnet hast, aus. Wenn du nun die zweite Ableitung deiner Funktion bestimmst, bestimmst du ja im Prinzip die 1. Ableitung der 1. Ableitung. Du sagst also etwas über die Steigung deiner 1. Ableitung aus. Und wenn du nun noch die 3. Ableitung berechnest, dann erhältst du die Steigung für die 2. Ableitung und so weiter. Ist das soweit klar?
Was man nun bei Kurvendiskussionen macht, ist folgendes:
Sieh dir einen Graph an, der einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Stell dir nun vor, dieser Hoch- oder Tiefpunkt wäre die Spitze eines Berges und du würdest auf deinem Graphen mit dem Fahrrad fahren. Was würdest du dann auf der Spitze machen? Bergauf fahren oder schon wieder berab? Gar nichts von beiden. Du würdest einen kurzen Moment (im Prinzip ist es wirklich nur ein Moment) weder bergauf noch bergab fahren. Das heißt, die Steigung ist 0. Da die Ableitung nun die Steigung angibt, muss auch die Ableitung in diesem Fall 0 sein. Deshalb ist das erste, was man macht um Extrempunkte zu finden, die Ableitung bestimmen und 0 setzen.
Nun sieh dir aber mal den Graphen für [mm] f(x)=x^3 [/mm] an. Wenn du da an der Stelle x=0 ankommst, fährst du quasi auch geradeaus (in diesem Fall ist nur der Unterschied, dass du sowohl vorher als auch nachher bergauf fährst, bei einem Hoch- oder Tiefpunkt fährst du vorher hoch und nachher runter bzw. vorher runter und nachher hoch). Also ist in diesem Fall die Ableitung an dieser Stelle auch =0. So, was nun?
Woran kannst du jetzt erkennen, ob an der Stelle, wo die Ableitung gleich 0 ist, wirklich ein Extremum oder nur ein sogenannter Wendepunkt (weißt du, was das ist? das ist das, was bei [mm] x^3 [/mm] an der Stelle 0 ist) vorliegt? Dafür benötigst du jetzt die zweite Ableitung.
Nehmen wir als Beispiel mal die beiden Funktionen [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^3. [/mm] Sieh dir mal den Graph von f(x) an. Die Ableitung hierfür ist f'(x)=2x und ist an der Stelle x=0 0. Was aber sagt uns die Ableitung sonst noch? Setzt mal in f'(x) unterschiedliche Werte ein. Du erhältst jeweils die Steigung von f(x) an dieser bestimmten Stelle, also an der Stelle x=1 ist die Ableitung f'(1)=2, das heißt, die Funktion f hat bei x=1 eine Steigung von 2. An der Stelle x=-1 ist die Ableitung f'(-1)=-2, die Funktion f hat also bei x=-1 eine Steigung von -2. Was heißt das nun? Das heißt, das f für negative Werte eine negative Steigung hat (probier es von mir aus aus, für jeden negativen x-Wert erhältst du auch eine negative Steigung), für alle positiven x-Werte aber eine positive. Also ist 0 genau der Punkt, wo sich das ändert. Und wenn nun f zuerst (also wenn du auf der x-Achse von links nach rechts gehst) fällt und dann wieder steigt, dann haben wir dazwischen einen Tiefpunkt. Ist doch eigentlich logisch, oder? Wenn nun aber f zuerst steigt und dann fällt, haben wir logischerweise einen Hochpunkt. Wie kann man das nun wieder herausfinden?
Betrachten wir dazu nochmal die Ableitung von f. Sie sagt ja etwas über die Steigung von f aus. Wenn die Ableitung nun negativ ist, fällt f, ist sie positiv, steigt f. Wie finden wir nun heraus, ob die Ableitung zuerst negativ oder zuerst positiv ist? Naja, wir überlegen uns folgendes: ist sie zuerste positiv und dann negativ, so muss sie eine negative Steigung haben, oder? Denn sie kommt ja von oben aus dem Positiven und geht dann ins Negative, was natürlich "tiefer" liegt. Und woher wissen wir jetzt, ob sie eine negative oder eine positive Steigung hat? Na, weißt du's?
Naja, natürlich von der Ableitung der Ableitung. Bei unserem f ist ja die zweite Ableitung f''(x)=2, also positiv. Das heißt, unsere erste Ableitung hat eine positive Steigung, kommt also aus dem Negativen (von unten) und geht hoch (ins Positive). Also ist sie zuerst negativ und dann positiv. Und was wissen wir jetzt daraus? Genau, nämlich, dass unsere Funktion erst fällt und dann wieder steigt, also muss sie einen Tiefpunkt haben. Wäre das ganze genau umgekehrt, so hätte sie einen Hochpunkt, wie du dir zum Beispiel an der Funktion [mm] -x^2 [/mm] genauso klarmachen kannst. 
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]") ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]") ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
So, was ist aber nun, wenn die zweite Ableitung weder positiv noch negativ ist? Nehmen wir dazu [mm] g(x)=x^3. [/mm] Eine Nullstelle der Ableitung [mm] (g'(x)=3x^2) [/mm] haben wir ja dann ebenfalls bei x=0, wie wir aber aus dem Graphen erkennen, ist dort kein Extremum vorhanden. Nehmen wir mal an, wir wüssten das noch nicht, und wollten über die zweite Ableitung herausfinden, ob wir es mit einem Hoch- oder einem Tiefpunkt zu tun haben. Wir würden wieder herausfinden wollen, ob die Ableitung zuerst positiv (die Funktion also zuerst steigend) oder zuerst negativ (g also zuerst fallend) ist. Wenn wir dafür erstmal wieder verschiedene Werte einsetzen, werden wir schnell herausfinden, dass g' überall positiv ist (das kommt ja von dem [mm] x^2, [/mm] da werden alle Minuszeichen "vernichtet"  ). Nun, was ist, wenn die Ableitung einer Funktion überall positiv (bzw. [mm] \ge [/mm] 0) ist? Das heißt ja dann, dass die Funktion überall eine positive Steigung hat (habe ich ja vorhin auch schon gesagt, bei [mm] x^3 [/mm] würdest du sowohl vorher als auch nachher bergauf fahren). Und wenn sie überall positiv ist, dann hat sie weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt.
Ein kleines Problem macht uns allerdings noch die Stelle x=0, an dieser Stelle ist nämlich g' nicht positiv, sondern ebenfalls =0. Das brauchten wir ja, damit überhaupt ein Hochpunkt evtl. vorhanden sein könnte.
Nun haben wir ja vorhin bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] die zweite Ableitung berechnet, um herauszufinden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt (du erinnerst dich: ist f''>0, so haben wir einen Tiefpunkt, ist f''<0, so haben wir einen Hochpunkt). Nun haben wir hier aber g''(x)=6x, das heißt, hier hängt es von den x-Werten ab, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist.
Ich weiß im Moment nicht so ganz, wie ich das auf diese Weise weitererklären soll, deswegen fange ich mal etwas von hinten an.
Wie du vielleicht weißt, müssen wir , wenn die zweite Ableitung =0 ist (also an der Stelle, an der die erste Ableitung 0 ist, denn wir wollen ja wissen, ob es sich um ein Extremum oder einen Wendepunkt handelt), die dritte Ableitung berechnen. Machen wir das mal für unser g: g'''(x)=6. Wir wissen nun also, dass g'' überall eine positive Steigung hat. Wenn nun g'' überall eine positive Steigung hat, dann muss sie zuerst im Negativen sein und dann ins Positive gehen (bei uns ändert sie sich vom Negativen zum Positiven genau bei x=0). Wenn sie nun zuerst negativ ist und dann positiv wird, so hat die 1. Ableitung zuerst eine negative Steigung und dann eine positive, das heißt, sie fällt zuerst und steigt dann. In unserem Fall ist sie dabei aber komplett [mm] \le [/mm] 0, wie wir aus dem Graphen sehen können [mm] (g'(x)=3x^2).
[/mm]
Sorry, ich komme gerade irgendwie nicht weiter. Ich wollte eigentlich noch erklären, warum man die dritte Ableitung berechnet, denn wenn die dritte Ableitung [mm] \not= [/mm] 0 ist, dann hat mein einen Wendepunkt, wenn sie aber =0 ist, muss man noch die vierte usw. Ableitung berechnen. Das kann ich aber leider im Moment nicht so ganz begründen, vielleicht fällt mir da heute nacht noch etwas zu ein oder so, oder jemand anders kann es erklären.
Das heißt, bis zu der Stelle, wo ich jetzt noch die drei Smilies eingebaut habe, müsste es dir was helfen. Was danach steht, führt noch zu keinem Ziel, müsste allerdings trotzdem richtig sein. Nur hilft es dir wohl erstmal nicht.
Wenn irgendetwas unklar ist, frag bitte nach. Ich weiß nicht, ob ich verständlich genug geschrieben habe.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:30 So 16.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hey, wir haben uns jetzt in der letzten zeit auf der FOS
> mit ableitungen beschäftigt. Das Problem ist im Grunde eine
> Zusammenstellung der einzelnen "eigenschaften" der
> Ableitungen. Wir haben zwar aufgeschrieben, dass
> beispielsweise die Schnittpunkte der ersten Ableitung mit
> der x-Achse zeigen, dass dort Extremwerte bzw. Schnitt-
> oder Berührpunkte liegen, aber der rest ist unklar. Ich
> wollte eigentlich mit Hilfe unseres Buches eine
> Zusammenstellung der einzelnen Bedeutungen machen, problem
> ist nur, dass das Buch extremst unübersichtlich ist und ich
> mich überhaupt nicht zurecht finde.
> Würde mich freuen wenn mir irgend jemand, der die
> einzelnen eigenschaften der 1.+2.+3.Ableitung kennt
> weiterhelfen könnte.
>
Hallo Christoph,
Bastiane hat dir ja schon viel geschrieben und ich muss zugeben, dass ich ihren Artikel noch
nicht komplett gelesen habe. Ich möchte dir aber mal kurz aufschreiben, was mir so spontan einällt.
Also:
1. Ableitung ist gleich der Steigung der Funktion, ist sie größer 0, so ist es steigend und ist sie kleiner 0
so fällt sie.
2. Ableitung ist gleich dem Krümmungsverhalten der Funktion, ist sie größer 0, so ist die Kurve nach links
gekrümmt und ist sie kleiner 0, so ist sie nach rechts gekrümmt.
3. Ableitung hat meines Erachtens nur den Sinn, dass man, wenn sie am vermeintlichen Wendepunkt ungleich 0 ist,
ausschließen kann, dass der Graph der 2. Ableitung die x-Achse nur berührt und sich deshalb das Vorzeichen der 2. Ableitung
nicht ändert. (Klingt wohl eher verwirrend, sorry)
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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