ableitung; binominalkoeffizien < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Do 13.03.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] \vektor{n\ k}
[/mm]
Beim Beweis der Leibnizregel
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit hilfe der Induktion wird einmal die Produktregel angewendet, dass heißt man müsste ja dann auch die Ableitung von dem Binominalkoeff bilden, aber man hat ja 2 Variablen: |
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
könnte es sein, daß die Hälfte dessen, was Du scheiben wolltest, irgendwo verloren gegengen ist auf dem Weg auf meinen Bildschirm?
Ist Dir überhaupt klar, was in der verlinkten Regel mit u und v gemeint ist? Das sind Funktionen. Die werden abgeleitet, und zwar, falls u, v von der Variablen x abhängen, nach x.
Der Binomialkoeffizient ist doch einfach nur ein Faktor, und nicht etwa eine Funktion, die von derselben Variablen wie u,v abhängt.
Wenn Du also aus irgendeinem Grund meinst, den Binimialkoeffizienten ableiten zu müssen, so ist seine Ableitung =0. Die Ableitung von f(x)=7 ist ja auch =0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 13.03.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | leibnizregel:
[mm] (fg)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})
[/mm]
n=Anzahl der Ableitung, f,g sind funktionen
-----------------
Im Induktionschritt steht nun:
[mm] (fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^kg^{n+1-k} [/mm] |
hatte mich versehen, hier ging es nicht um die ableitung von dem binominalkoeffizenten, sondern um das produkt, aber irgendwie verstehe ich nicht wie man von
[mm] (fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'
[/mm]
auf
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^kg^{n+1-k}
[/mm]
kommt...
Man muss ja die Produktregel anwenden, aber was genau ist denn [mm] (f^{k})' [/mm] ist es etwa [mm] kf^{k-1} [/mm]
f und g sind ja funktionen, deshalb bin ich mir nicht sicher ob man das so schreiben kann...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 13.03.2008 | | Autor: | Kreide |
und wie kommt man drauf, dass
[mm] (fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'
[/mm]
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> und wie kommt man drauf, dass
> [mm](fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'[/mm]
[mm] (fg)^{n+1}=((fg)^{n})'=(\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^kg^{n-k})'=\summe_{k=0}^{n}(\vektor{k \\ n}f^kg^{n-k})',
[/mm]
(Ableitung v. Summen)
Gruß v. Angela
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> leibnizregel:
> [mm](fg)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})[/mm]
>
> n=Anzahl der Ableitung, f,g sind funktionen
>
> -----------------
> Im Induktionschritt steht nun:
> [mm](fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^kg^{n+1-k}[/mm]
>
> hatte mich versehen, hier ging es nicht um die ableitung
> von dem binominalkoeffizenten, sondern um das produkt, aber
> irgendwie verstehe ich nicht wie man von
>
> [mm](fg)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}(f^kg^{n-k})'[/mm]
>
> auf
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{k \\ n}f^kg^{n+1-k}[/mm]
>
> kommt...
>
> Man muss ja die Produktregel anwenden, aber was genau ist
> denn [mm](f^{k})'[/mm] ist es etwa [mm]kf^{k-1}[/mm]
Aha! Mit diesem Fehler gibst Du mir einen wertvollen Hinweis:
offensichtlich ist Dir nicht klar, was hier die Exponenten der Funktion bedeuten sollen.
Mit [mm] f^k [/mm] ist keinesfalls gemeint, daß man f k-mal mit sich selbst verketten soll, sondern es ist die k-te Ableitung von f gemeint. Mir ist dafür die Schreibweise [mm] f^{(k)} [/mm] geläufig.
Damit sollte sich alles aufklären: wenn man die k-te Ableitung von f nochmal ableitet, hat man die (k+1)-te Ableitung v. f.
Also [mm] (f^{(k)})'=f^{(k+1)}
[/mm]
Gruß v. Angela
> f und g sind ja funktionen, deshalb bin ich mir nicht
> sicher ob man das so schreiben kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Do 13.03.2008 | | Autor: | Kreide |
ahhhhhhh!!! jetzt hab ich'S kapiert!!! danke für die hilfe!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^kg^{n+1-k}[/mm]
= [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n \\ k-1}f^{k}g^{n-k+1}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^kg^{n+1-k}[/mm]
ich verstehe nicht warum das gleichheitszeichen steht,
muss man im ersten summanden n mit n+1 ersetzen und k mit k=k-1. Das würde dann ja auch nur teilweise zutreffen.
Warum darf man beim ersten summanden die laufindexe einfach auf k=1 bis k=n+1 ändern?
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Hallo!
Hier wurde ein Trick bei den Indizes der Summe angewandt.
k läuft jetzt nicht mehr von 0 bis n, sondern von 1 bis (n+1) . In der Summe werden natürlich weiterhin Zahlen 0...n verlangt, deshalb muß man überall k gegen (k-1) austauschen.
Solche Schiebereien werden sehr häufig angewandt, um zwei Summen, die aus gleich vielen Summanden, aber unterschiedlichen Zahlenbereichen der Indizes bestehen, zunächst auf einen Zahlenbereich zu bringen. Anschließend kann man die beiden Summen dann zusammenfassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
ah, kapiert!!! Danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{k+1}g^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^kg^{n+1-k}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n \\ k-1}f^{k}g^{n-k+1}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^kg^{n+1-k}[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ n+1-1}f^{n+1}g^{n-n-1-1}+\vektor{n \\ 0}f^0g^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k})f^kg^{n-k+1}[/mm]
[/mm]
hier wurde in die ersten summe k=n+1 gesetzt und bei der zweiten summe k=0 .
wie kann ich nun [mm] \vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k} [/mm] zusammenfassen?
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Hallo!
Nun, du kennst doch sicher die Definition für Binominalkoeffizienten, das ist das mit den ganzen Fakultäten. Da könntest du dich durchwühlen.
Wenn dir der ultimative Beweis nicht so wichtig ist, und dir eine etwas pragmatischere Lösung besser gefällt:
Das "Pascalsche Dreieck" listet dir doch die Zahlenwerte für Binominalkoeffizienten auf. Das n in [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] gibt dir die Zeile an, das k die Position innerhalb dieser Zeile.
Im Pascalschen Dreieck gibts ne ganz einfache Regel, wie man die nächste Zeile aus der vorherigen berechnen kannst. Den Anfang dieser Rechenregel hast du soeben mit der Summe deiner Binominalkoeffizienten hingeschrieben.
Aus dem Pascalschen Dreieck erkennst du auch schnell, was [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
Für den Induktionsanfang, setzt man ja n=1 ein, aber müsste man hier nicht n=0 einsetzen, weil k von 0 anfängt?
man macht es wahrscheinlich von n=1 , weil die Nullte Ableitung nichts verändert, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
[mm] (fg)^{(1)}= \summe_{k=0}^{1}\vektor{n\\k}f^kg^{(n-k)}
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 0}f^0g^{(0)}+\vektor{1\\1}f^1g^{(0)}
[/mm]
[mm] =f^0g^{(0)}+f^1g^{(0)}
[/mm]
irgendwie stimmt da was nicht oder?
es müsste ja
[mm] f^1g^{(0)}+f^{(0)}g^{(1)} [/mm] rauskommen
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> [mm](fg)^{(1)}= \summe_{k=0}^{1}\vektor{n\\k}f^kg^{(n-k)}[/mm]
Hallo,
Du machst Dich selber wirr, weil Du nicht überall für n die 1 einsetzt.
Du mußt prüfen, ob
[mm] (fg)^{(1)}= \summe_{k=0}^{1}\vektor{n\\k}f^kg^{(1-k)}
[/mm]
richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
das n im Binominalkoeffizienten muss man auch durch 1 ersetzen, stimmt'S? dann klappt es...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Kreide |
also k=0 und einmal k=1 einsetzen.... dann kommt das richtige raus ;)
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Hallo,
falls das ne Frage ist: Ja, das tut's 
Soll ja auch so sein...
Leite mal die linke Seite nach der bekannten Produktregel ab und schaue, ob bei der Summe auch dasselbe herauskommt
LG
schachuzipus
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Hallo Kreide,
das war wohl ein "Überseher", natürlich musst du auch im Binomialkoeffizienten für den IA das n durch 1 ersetzen...
LG
schachuzipus
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Richtig!
Man kann n=0 benutzen, mathematisch ist das korrekt, aber erst bei n=1 passiert ja überhaupt was, und erst ab da interessiert es einen ja auch erst.
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