abgeschlossenheit(+vollständig < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 20.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei [mm] T_n [/mm] : d [mm] \to \mathbb{K} [/mm] wie folgt definiert
[mm] T_n((a_j)_{j=1}^\infty):=na_n \forall (a_j)_j \in [/mm] d = [mm] \{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j in \IN a_j\not= 0 für höchstens endlich viele n \}
[/mm]
Zu zeigen:
a) [mm] sup_{n \in \IN} |T_n [/mm] a| < [mm] \infty [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] d
b) [mm] sup_{n} ||T_n|| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Beweis
a) [mm] (a_j)_j [/mm] =: a [mm] \in [/mm] d
=> [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] a_n= [/mm] 0
[mm] sup_{n \in \IN} |T_n [/mm] a| = [mm] sup\{1a_1 , 2a_2,...,n_0a_{n0},0,...,0\} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Beweis b):
[mm] |T_n| [/mm] = sup |Tna| = sup [mm] |n*a_n|
[/mm]
Wegen le [mm] ||T_n|| \n [/mm] und [mm] ||T_n|| \ge [/mm] n folgt [mm] ||T_n|| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Zu [mm] ||T_n|| \le [/mm] n :
[mm] |a_n| \le ||a||_\infty \le [/mm] 1 => [mm] |n*a_n| \le [/mm] n
=> [mm] ||T_n|| \le [/mm] n
zu [mm] ||T_n|| \ge [/mm] n :
[mm] T_n(0,...,0,1,0,...,0) [/mm] = n*1 ; da die 1 in der Klammer an der n-ten Stelle stehen soll
=> [mm] ||T_n|| \ge [/mm] n
Den zweiten Fall verstehe ich, da wird eine Folge beliebig gewählt, was ich nicht verstehe, ist warum [mm] ||a||_\infty \le [/mm] 1 ist. Was wird da denn für eine Folge gewählt? Habe ich das überhaupt richtig verstanden, dass die Folgen hierbei beliebig gewählt werden dürfen? |
Hallo.
Meine konkrete Frage steht ja oben. Wäre schön, würde jemand mir sagen, wieso [mm] ||T_n|| \le [/mm] n und [mm] \ge [/mm] n gilt.
Viele Grüße
valaida.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 20.07.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] T_n [/mm] ist ein stetiges lineares Funktional auf den Raum d, der, so vermute ich mit der Supremumsnorm versehen ist.
Die Norm von [mm] T_n [/mm] ist definiert durch
(*) [mm] $||T_n||$ [/mm] = sup { [mm] |T_n [/mm] a|: a [mm] \in [/mm] d, ||a||=1 }
Nimm a= [mm] (a_1, a_2, [/mm] .... ) [mm] \in [/mm] d beliebig mit ||a||=1. Dann ist [mm] |a_n| \le [/mm] 1 und somit $|T_na| [mm] =|na_n| \le [/mm] n$.
Wegen (*) folgt: [mm] $||T_n|| \le [/mm] n$
Annahme: [mm] $||T_n|| [/mm] < n$. Dies führt aber sofort zum Widerspruch, wegen
$ [mm] T_n(0,...,0,1,0,...,0) [/mm] = n*1$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 20.07.2009 | | Autor: | valaida |
Hallo fred97.
Danke für deine Erklärungen. Das war mir bis gerade eben nämlich alles völlig unklar.
Liebe Grüße
valaida
|
|
|
|
