abgeschlossenheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo
hab probleme ein beweis nach zu vollziehen.
Satz:
eine Menge A [mm] \subset \IR^n [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder in [mm] \IR^n [/mm] konvergenten Folge [mm] a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k} \subset [/mm] A für alle k ebenfalls in A liegt.
Die eine Beweisrichtung geht so:
Sei A abgeschlossen; Läge der Grenzwert a einer konvergenten Folge [mm] a_{k} [/mm] für alle k in U := [mm] \IR^n [/mm] \ A, so erhielte die offene Menge U als Umgebung von a fals alle [mm] a_{k}. [/mm] Das ist ein Widerspruch
Problem ist nur, dass ich einfahc kein widerspruch erkenne;
abgeschlossenheit haben wir vorerst dadurch definiert, dass das Komplement offen ist.
kann mir jmd sagen wo da der widerspruch liegt?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Satz:
> eine Menge A [mm]\subset \IR^n[/mm] ist genau dann abgeschlossen,
> wenn der Grenzwert jeder in [mm]\IR^n[/mm] konvergenten Folge [mm]a_{k}[/mm]
> mit [mm]a_{k} \subset[/mm] A für alle k ebenfalls in A liegt.
>
> Die eine Beweisrichtung geht so:
> Sei A abgeschlossen; Läge der Grenzwert a einer
> konvergenten Folge [mm]a_{k}[/mm] für alle k
Die [mm] $a_k$ [/mm] liegen in $A$.
> in U := [mm]\IR^n \setminus A[/mm], so
> erhielte die offene Menge U als Umgebung von a fals alle
> [mm]a_{k}.[/mm] Das ist ein Widerspruch
Sei $a$ der Grenzwert von [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$. [/mm] Dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] mit [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] a_n \in B_\varepsilon(a)$.
[/mm]
Da $U$ offen ist und $a [mm] \in [/mm] U$ gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $B_\varepsilon(a) \subseteq [/mm] U$. Insbesondere gilt [mm] $B_\varepsilon(a) \cap [/mm] A = [mm] \emptyset$!
[/mm]
Nun gibt es also ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] a_n \in B_\varepsilon(a) \subseteq [/mm] U$, also [mm] $a_n \not\in [/mm] A$! Dies ist aber ein Widerspruch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 23.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo
die andere richtung geht so:
es habe nun A die angegebene Eigenschaft für Folgen. Angenommen, A ist nicht abgeschlossen, d.h. U:= [mm] \IR [/mm] \ A nicht offen. Dann gibt es einen Punkt a [mm] \in [/mm] U derart, dass keine Kugel um a in U liegt. Insbesondere enthält jede Kugel [mm] K_{1/k}(a), [/mm] k = 1,2,..., einen Punkt [mm] a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k} \not\in [/mm] U. Die Folge [mm] a_{k} [/mm] liegt in A und konvergiert wegen [mm] d(a_{k},a) [/mm] < 1/k; ihr Grenzwert a jedoch gehört nicht zu A. Widerspruch.
hab hier ein problem. das a wird zwar willkürlich gewählt, in jeder Umgebung [mm] K_{1/k}(a) [/mm] liegt dann ein Element [mm] a_{k} \not\in [/mm] U, aber warum? man kann doch hier nicht argumentieren, weil a der grenzwert ist und deshalb in jeder umgebung ander elemente [mm] a_{k} [/mm] drinliegen. den als man a wählt weiß man ja nicht dass es der grenzwert der folge wird.
anders gefragt: woher weiß ich, dass in jeder umgebung [mm] K_{1/k}(a) [/mm] elemente [mm] a_{k} [/mm] liegen?
oki danke schon mal 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 23.04.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> hallo
> die andere richtung geht so:
> es habe nun A die angegebene Eigenschaft für Folgen.
> Angenommen, A ist nicht abgeschlossen, d.h. U:= [mm]\IR[/mm] \ A
> nicht offen. Dann gibt es einen Punkt a [mm]\in[/mm] U derart, dass
> keine Kugel um a in U liegt. Insbesondere enthält jede
> Kugel [mm]K_{1/k}(a),[/mm] k = 1,2,..., einen Punkt [mm]a_{k}[/mm] mit [mm]a_{k} \not\in[/mm]
> U. Die Folge [mm]a_{k}[/mm] liegt in A und konvergiert wegen
> [mm]d(a_{k},a)[/mm] < 1/k; ihr Grenzwert a jedoch gehört nicht zu A.
> Widerspruch.
>
> hab hier ein problem. das a wird zwar willkürlich gewählt,
nein, nicht willkürlich. Die Argumentation geht so: Gäbe es zu jedem $a [mm] \in [/mm] U$ eine Kugel um a, die auch noch vollständig in U liegt, dann wäre U offen. Aber U ist nach Voraussetzung ja gerade nicht offen (weil A nicht abgeschlossen ist). Also gibt es ein a mit der Eigenschaft, daß keine Kugel um a vollständig in U liegt. Anders gesagt: Jede Kugel um dieses existierende a enthält einen Punkt aus A. Wir wissen, daß es ein solches a gibt (vielleicht nur eines, vielleicht sogar mehrere) und im folgenden wählen wir ein solches a mit dieser Eigenschaft (also nicht willkürlich).
> in jeder Umgebung [mm]K_{1/k}(a)[/mm] liegt dann ein Element [mm]a_{k} \not\in[/mm]
> U, aber warum?
weil keine Kugel (=Umgebung) um a vollständig in U liegt, also in jeder Umgebung von a ein Element aus A liegt. Aus den so gewonnenen Elementen von A kann man dann aber die Folge basteln, die gegen a konvergiert.
Gruß
Will
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