abgeschlossene Menge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei
$ [mm] M:=\{x=\left(x_n\right)_{n\in\IN}\in l^2\left(\IC\right)\mid x_{2j}=0\;\forall\,j\in\IN\} [/mm] $
Zeige: M ist abgeschlossen. |
Hallo an alle,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier am besten vorgehe?
Ich danke euch
Gruß
Denny
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[mm]f: \ l^2(\mathbb{C}) \to l^2(\mathbb{C})[/mm] sei die Abbildung "Streichen der Glieder mit ungeradem Index", also [mm]f: \ \left( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 , x_6 , \ldots \right) \mapsto \left( x_2 , x_4 , x_6 , \ldots \right)[/mm].
Begründe:
[mm]f[/mm] ist stetig, und das Urbild der abgeschlossenen einpunktigen Menge [mm]O = \left\{ \left( 0 , 0 , 0 , \ldots \right) \right\}[/mm] ist gerade [mm]M[/mm]:
[mm]M = f^{-1}(O)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 07.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zunächst vielen Dank für die Antwort.
Ich habe jetzt schon länger darüber nachgedacht und Sätze nachgeschlagen, die ich mit deiner Vorgehensweise verwenden könnte, aber ich komme zu keinem Ziel.
Es wäre echt toll, wenn ihr mir noch ein paar helfende Worte mit auf den Weg geben könntet. (z.B.: nennen der Sätze mit dem wir in diesem speziellen Fall arbeiten)
Ich danke euch vielmals
Gruß
Denny
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1. In Hausdorffschen Räumen sind einpunktige Mengen abgeschlossen.
2. Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen.
(Und das obige [mm]f[/mm] ist stetig wegen [mm]d \left( f(x) , f(x_0) \right) \leq d \left( x , x_0 \right)[/mm] für [mm]x, x_0 \in l^2(\mathbb{C})[/mm]. Im [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium kann man also trivialerweise [mm]\delta = \varepsilon[/mm] wählen.)
Wenn du mit diesen Begriffen nichts anfangen kannst, mußt du einen direkten Beweis machen. Zeige, daß der Limes jeder konvergenten Folge in [mm]M[/mm] wieder zu [mm]M[/mm] gehört.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:03 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Danke für deine Erklärung. Habe es jetzt bestens nachvollziehen können.
Gruß
Denny
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