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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei A eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IC. [/mm] Man definiert die sogenannte Abstandsfunktion durch [mm] d_{A}(z):= [/mm] inf{|z-a|} (a [mm] \in [/mm] A)
Zu zeigen :
(b) Die menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit der Nullstellenmenge {z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] d_{A}(z)=0} [/mm] von [mm] d_{A} [/mm] übereinstimmt. |
Hallo,
hier muss man also zwei Richtungen zeigen:
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
A ist abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] D:={z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] d_{A}(z)=0 [/mm] } =A [mm] \gdw [/mm] z [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] A und z [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] D
Aus z [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow d_{A}(z):= [/mm] inf{|z-a|}=0 [mm] \gdw [/mm] z=a [mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] A
Aus z [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] z=a [mm] \Rightarrow d_{A}(z):= [/mm] inf{|z-a|}=0 [mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] D.
Ich weiss es nicht , ob es stimmt, auf jeden Fall habe ich es nicht benutzt, dass A abgeschlossen ist.
Bei der Rückrichtung habe ich Schwierigkeit einen Ansatz zu finden.
Ich bitte um eine Korrektur und um einen Tipp für die "Rückrichtung".
Schöne Grüße
Igor
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Hi,
> Zu zeigen :
>
> (b) Die menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit
> der Nullstellenmenge z [mm]\in \IC[/mm] | [mm]d_{A}(z)=0}[/mm] von [mm]d_{A}[/mm]
> übereinstimmt.
> Hallo,
>
> hier muss man also zwei Richtungen zeigen:
ja.
>
> " [mm]\Rightarrow[/mm] "
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z [mm]\in[/mm] A und z [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] z [mm]\in[/mm] D
>
>
> Aus z [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow d_{A}(z):=[/mm] inf{|z-a|}=0 [mm]\gdw[/mm] z=a
> [mm]\Rightarrow[/mm] z [mm]\in[/mm] A
>
> Aus z [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] z=a [mm]\Rightarrow d_{A}(z):=[/mm]
> inf{|z-a|}=0 [mm]\Rightarrow[/mm] z [mm]\in[/mm] D.
>
tut mir leid, ich verstehe nicht genau, was du hier machst. Sieht ein bisschen danach aus, dass du dich im kreis drehst...
meine idee: du musst zwei richtungen zeigen:
[mm] $A\subset [/mm] D$ und [mm] $D\subset [/mm] A$
die erste richtung ist trivial, die zweite erfordert argumentation.
zz.
[mm] $d_A(z)=0 \Rightarrow z\in [/mm] A$
wenn [mm] $d_A(z)=0$ [/mm] dann gibt es eine minimalfolge [mm] $a_n\in [/mm] A$ mit [mm] $|z-a_n|\to [/mm] 0$. dh. aber nichts anderes als dass [mm] a_n [/mm] gegen z konvergiert. Da A abgeschlossen ist, muss der grenzwert der folge (also z) auch in A liegen. qed.
(das war jetzt die hin-richtung)
> Ich weiss es nicht , ob es stimmt, auf jeden Fall habe ich
> es nicht benutzt, dass A abgeschlossen ist.
>
>
> Bei der Rückrichtung habe ich Schwierigkeit einen Ansatz
> zu finden.
>
rueckrichtung: zz.
[mm] $D=A\quad \Rightarrow [/mm] A$ abgeschlossen
sei [mm] $a_n$ [/mm] eine folge in A mit grenzwert a. du musst zeigen, dass a auch in A liegt. es gilt
[mm] $d_A(a_n)=0$
[/mm]
aus der stetigkeit von [mm] $d_A$ [/mm] (die du evtl. noch begruenden musst) folgt dann, dass auch [mm] $d_A(a)=0$. [/mm] also [mm] $a\in [/mm] D=A$. qed.
gruss
matthias
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