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Hallo,
ich habe Probleme die Begriffe vollständig und abgeschlossen zu unterscheiden.
Kann mir jemand ein Beispiel geben einer vollständigen, aber nicht abgeschlossenen Menge und einer abgeschlossenen, aber nicht vollständigen Menge. (Falls ein Kriterium stärker als das andere ist, also das eine das andere impliziert, macht die Frage natürlich nur teilweise Sinn)
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Lorenz!
> ich habe Probleme die Begriffe vollständig und
> abgeschlossen zu unterscheiden.
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> Kann mir jemand ein Beispiel geben einer vollständigen,
> aber nicht abgeschlossenen Menge und einer abgeschlossenen,
> aber nicht vollständigen Menge. (Falls ein Kriterium
> stärker als das andere ist, also das eine das andere
> impliziert, macht die Frage natürlich nur teilweise Sinn)
Also, ersteinmal:
Vollstaendig zu sein ist eine Eigenschaft fuer metrische Raeume. D.h. du hast eine Menge $X$ zusammen mit einer Metrik $d : X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR_{\ge 0}$. [/mm] Diese Metrik liefert dir eine Topologie (sagt also, welche Teilmengen von $X$ abgeschlossen sind). Und entweder ist $X$ bzgl. dieser Metrik vollstaendig, oder halt nicht.
Wenn du z.B. $X = [mm] \IR$ [/mm] betrachtest mit $d(x, y) = |x - y|$, dann ist $(X, d)$ ein vollstaendiger metrischer Raum: jede Cauchy-Folge in $(X, d)$ ist bereits konvergent.
Wenn du dagegen $X = [mm] \IQ$ [/mm] betrachtest mit $d(x, y) = |x - y|$, dann ist $(X, d)$ nicht vollstaendig: die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i!}$ [/mm] ist eine Cauchy-Folge, aber konvergiert nicht in [mm] $(\IQ, [/mm] d)$.
Abgeschlossen sein ist etwas, was man fuer beliebige Teilmengen eines topologischen Raumes (wenn dir das nichts sagt: metrischen Raumes) definieren kann. Hast du z.B. $X = [mm] \IR$ [/mm] mit der Topologie, die durch die Metrik $d(x, y) = |x - y|$ gegeben hast, dann sind die Intervalle vom Typ $[a, b]$ abgeschlossen und die Intervalle vom Typ $(a, b)$ offen. Die Intervalle vom Typ $[a, b)$ sind weder offen noch abgeschlossen.
Wenn du jetzt eine Teilmenge eines topologischen (metrischen) Raumes hast, dann ist diese wieder ein topologischer (metrischer) Raum: du schraenkst einfach die Topologie (Metrik) auf die Teilmenge ein. Wenn $(X, d)$ ein vollstaendiger metrischer Raum ist, etwa $X = [mm] \IR$ [/mm] und $d$ wie oben, dann ist eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ mit der induzierten Metrik [mm] $d|_{A \times A} [/mm] : A [mm] \times [/mm] A [mm] \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] genau dann ein vollstaendiger metrischer Raum, wenn $A$ (als Teilmenge des topologischen Raumes $X$) abgeschlossen ist. Ich vermute, dass diese Aussage der Grund dafuer ist, dass du die Begriffe nur schwer unterscheiden kannst :)
Wenn du $X = [mm] \IR$ [/mm] hast und $A = [mm] \IQ$, [/mm] dann ist $A$ ja nicht abgeschlossen in $X$, womit $(A, d)$ nicht vollstaendig ist: z.B. liegt der Haeufungspunkt $e = [mm] \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i!}$ [/mm] von $A$ nicht in $A$, sondern in $X [mm] \setminus [/mm] A$.
So.
Du fragst jetzt nach Beispielen von Mengen, die abgeschlossen aber nicht vollstaendig sind (und umgekehrt). Das ergibt in dem obigen Kontext nur Sinn, wenn du folgende Situation hast: du hast einen metrischen Raum $(X, d)$ und eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] X$, und betrachtest den induzierten metrischen Raum $(A, [mm] d|_{A \times A})$. [/mm] Du willst jetzt Beispiele, fuer die
a) $A$ in $X$ abgeschlossen ist, aber $(A, [mm] d|_{A \times A})$ [/mm] nicht vollstaendig ist;
b) $A$ in $X$ nicht abgeschlossen ist, aber $(A, [mm] d|_{A \times A})$ [/mm] vollstaendig ist.
Zu a): Nach der obigen Aussage geht dies nur, wenn $(X, d)$ selber nicht vollstaendig ist. Du kannst etwa $X = [mm] \IQ$ [/mm] nehmen mit $d$ wie oben. Wenn du $A = X$ nimmst, dann ist $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$, aber $(A, [mm] d|_{A \times A}) [/mm] = (X, d)$ ist nicht vollstaendig. Wenn du ein etwas weniger triviales Beispiel willst, nimm $A = [mm] \IQ \cap [/mm] [a, b]$.
Zu b): Wenn $A$ in $X$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n \in [/mm] A$, die in $X$ konvergiert (bzgl. der Metrik $d$), deren Grenzwert jedoch nicht in $A$ liegt. Dies ist insbesondere eine Cauchy-Folge. Damit hast du allerdings eine Cauchy-Folge im induzierten Raum $(A, [mm] d|_{A \times A})$, [/mm] welche nicht konvertiert -- damit ist $(A, [mm] d|_{A \times A})$ [/mm] nicht vollstaendig.
Ein Beispiel vom Typ b) gibt es also nicht.
LG Felix
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Hallo Felix,
sorry für die späte Rückmeldung. Ich danke ganz herzlich für die rasche und ausführliche Antwort! Habe jetzt auf jeden Fall mehr Durchblick und Spass beim Paper!
Lieben Gruß,
Lorenz
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