abelsche Gruppe (R / Z) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Mi 15.12.2004 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Zeigen Sie, dass die abelsche Gruppe [mm] (\IR [/mm] / [mm] \IZ, [/mm] +), die folgende Eigenschaft hat: Zu jeder natürlichen Zahl n > 0, gibt es genau n Elemente [x] [mm] \in (\IR [/mm] / [mm] \IZ) [/mm] mit n [x] = [0]
Mein Problem ist, dass ich nicht richtig weiss wie ich das Problem angehen soll, und was ich mir unter [mm] \IR [/mm] / [mm] \IZ [/mm] vorstellen soll. Muss ich von der Definition der abelschen Gruppe ausgehen oder nehme ich an dass es abelsch ist, schreibe die Aequvaielnzklassen an, und versuche dann wieder darauf zurückzukommen dass es abelsch ist.
Können Sie mir vieleischt einen Lösungsvorschlag bzw eine veranschaulichung des Problems geben...
vielen dank
mfg
Marc
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Hallo!
Es hilft wirklich, sich [mm] $\IR [/mm] / [mm] \IZ$ [/mm] vorstellen zu koennen... also, man nehme sich die reellen Zahlen und erklaere zwei solche fuer aequivalent, wenn sie sich um eine ganze Zahl unterscheiden.
Wie sehen die Klassen aus? Naja, jede hat einen Repraesentanten aus $[0,1[$, denn wenn ich den "Vorkomma"-Anteil subtrahiere entsteht eine zur urspruenglichen Zahl aequivalente reelle Zahl.
Wenn ich in diesem Repraesentantensystem rechne (also nur mit den Nachkommaanteilen), dann ist die aufgabe logisch: zu gegebenem $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es die Klassen: $[0], [mm] [\frac{1}{n}] [/mm] , [mm] [\frac{2}{n}], \ldots, \[\frac{n-1}{n}]$, [/mm] die mit $n$ multipliziert eine ganze Zahl ergeben, also die Nullklasse.
Alles klar?
Lars
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