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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 01:21 Mo 16.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Zeige:
Wenn [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] beide ungerade sind, dann ist
[mm]a^2 + b^2[/mm]
keine Quadratzahl.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Ich habe eben erst entdeckt, dass du hier fröhlich Aufgaben gestellt hast 
Meine Lösung, ein wenig kürzer:
[mm](2a_1+1)^2+(2b_1+1)^2=4a_1^2+4a_1+1+4b_1^2+4b_1+1[/mm]
[mm]=4a_1^2+4a_1+4b_1^2+4b_1+2[/mm]
[mm]=2(2a_1^2+2a_1+2b_1^2+2b_1+1)[/mm]
Der jeder Primteiler einer Quadratzahl einen geraden Exponenten besitzt, muss das hier auch der Fall sein. Da aber der erste Faktor durch 2z u teilen ist, der zweite allerdings nicht, hat die Primfaktorzerlegung von [mm]a^2+b^2[/mm] nur eine 2 in sich und kann so keine Quadratzahl sein, q.e.d
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Fr 20.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Dies ist typischer Fall für einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen das Gegenteil dessen an, was wir zeigen wollen und führen dies zu einem Widerspruch (das macht man häufig bei "wenn... dann..."-Aussagen so).
Wir nehmen also an, die Voraussetzungen würden gelten (d.h. [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] wären tatsächlich ungerade) und nehmen zugleich an, dass das Gegenteil der Behauptung gelten würde:
Wenn [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] beide ungerade sind und [mm]a^2 + b^2[/mm] eine Quadratzahl wäre, dann wäre [mm]a^2 + b^2[/mm] eine gerade Quadratzahl. (Warum?) Eine gerade Quadratzahl wäre durch [mm]4[/mm] teilbar. (Warum?)
Setze jetzt so an:
Da [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] ungerade sind, können wir [mm]a=2k+1[/mm] und [mm]b=2l+1[/mm] annehmen. Berechne nun mal [mm]a^2[/mm] und [mm]b^2[/mm] mit der Binomischen Formel und anschließend [mm]a^2+b^2[/mm]. Was fällt dir jetzt auf?
Ich freue mich auf deinen Lösungsvorschlag.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Nalath |
"Wenn und beide ungerade sind und eine Quadratzahl wäre, dann wäre eine gerade Quadratzahl. (Warum?) Eine gerade Quadratzahl wäre durch 4 teilbar. (Warum?)
Setze jetzt so an:
Da und ungerade sind, können wir und annehmen a = 2k + 1
Sven: b = 2l+ 1 ."(Tipp zur Aufgabe 2)
Tut mir leid aber ich verstehe das nicht so ganz. Warum ist das Produkt aus a² und b² gerade wenn beide Zahlen ungerade sind? Ist das immer so?
Warum ist eine gerade Quadratzahl durch 4 teilbar? Heißt gerade nicht, durch 2 teilbar? Und wie kommt man auf a = 2k + 1 und b = 2l + 1 ? was soll das k und l überhaupt bedeuten???
Hilfe...
Gruß, Nalath (verzweifelt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 03.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Also, noch mal ausführlich die Lösung:
Es seien [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] ungerade natürliche Zahlen. Dann lassen sich [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] in der Form
[mm]a=2k+1[/mm]
und
[mm]b=2l+1[/mm]
mit geeigneten [mm]k,l \in \mathbb{N}_0[/mm] darstellen.
Da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist
(denn [mm](2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1[/mm]),
sind [mm]a^2[/mm] und [mm]b^2[/mm] ungerade.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist offenbar gerade.
(denn [mm](2n+1) + (2m+1) = 2\cdot(n+m+1)[/mm]).
Daher ist [mm]a^2 + b^2[/mm] gerade.
Wäre nun [mm]a^2 + b^2[/mm] eine Quadratzahl, dann wäre also [mm]a^2 + b^2[/mm] eine gerade Quadratzahl.
Da aber (wie gerade gesehen) das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist, muss eine gerade Quadratzahl das Quadrat einer geraden Zahl sein.
Wegen
[mm](2n)^2 = 2^2 \cdot n^2 = 4n^2[/mm]
ist aber jede gerade Quadratzahl automatisch durch [mm]4[/mm] teilbar.
Demnach müsste
[mm]a^2 + b^2[/mm]
durch [mm]4[/mm] teilbar sein!
Dann rechnen wir doch [mm]a^2 + b^2[/mm] einfach mal aus. Es gilt:
[mm]a^2 + b^2[/mm]
[mm]= (2k+1)^2 + (2l+1)^2[/mm]
[mm]= 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1[/mm]
[mm]= 4(k^2+k+l^2+l) + 2[/mm],
also:
[mm]a^2 + b^2 = 4(k^2+k+l^2+l) + 2[/mm].
Der Ausdruck [mm]4(k^2 + k + l^2 + l)[/mm] ist durch [mm]4[/mm] teilbar.
Wäre nun [mm]a^2 + b^2[/mm] durch [mm]4[/mm] teilbar sein, so müsste auch [mm]2[/mm] durch [mm]4[/mm] teilbar sein, denn:
Wenn zwei der Terme der Gleichung [mm]\blue{a+b=c}[/mm] mit [mm]\blue{a,b,c \in \IZ}[/mm] durch [mm]\blue{d \in \IZ}[/mm] teilbar sind, dann auch der dritte.
Aber offenbar ist [mm]2[/mm] nicht durch [mm]4[/mm] teilbar.
Daher konnte [mm]a^2 + b^2[/mm] keine Quadratzahl sein.
Das wollten wir zeigen.
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![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]"){kind=small}
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Ihr seid ja hier um was zu lernen. 