Zylinder in einer Kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:47 Do 04.10.2007 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | | In eine Kugel mit 10 cm Radius soll ein möglichst großvolumiger Zylinder eingeschrieben werden. |
Hallo!
Ich schreibe nächste Woche eine Mathegrundkursklausur und bin gerade dabei alle Aufgaben noch einmal nachzurechnen. Diese Aufgabe hat der Lehrer nicht aus dem Buch, sondern so an die Tafel geschrieben, und auch schon gelöst, aber ich verstehe seine Rechnung nicht, die so geht:
[mm] V_{Z}= \pi *10^{2}*h
[/mm]
[mm] A_{O}= [/mm] 4 [mm] \pi r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw A_{O} [/mm] = 4000 [mm] \pi
[/mm]
V(h)= [mm] \pi [/mm] ( 100h - [mm] \bruch{1}{4} h^{3} [/mm] ) für 0<h<20
V'(h)= [mm] \pi [/mm] ( 100 - [mm] \bruch{3}{4} h^{2} [/mm] )
400 = [mm] h^{2} [/mm] + [mm] (2r)^{2} [/mm] nach Pythagoras
[mm] \gdw [/mm] 400 = [mm] h^{2} [/mm] + [mm] 4r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 100 = [mm] \bruch{1}{4}h^{2} [/mm] + [mm] r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 100 - [mm] (\bruch{1}{4}h)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
V = [mm] \pi r^{2}h
[/mm]
[mm] r^{2} [/mm] =100 - [mm] \bruch{1}{4} h^{2} [/mm]
Absolutheit liegt vor, weil die uns interessierende Funktion überall definiert und stetig ist.
Zuerst einmal verstehe ich nicht, wieso er den Radius der Kugel als Radius des Zylinders eingesetzt hat. Das ist doch nicht dasselbe, weil der Radius des Zylinders geht doch nicht durch den Mittelpunkt der Kugel. Ich hätte mir da ein rechtwinkliges Dreieck gedacht, mit 10cm als Seite c und dem Radius des Zylinders als Seite b, sodass der Radius des Zylinders sin [mm] \alpha [/mm] * 10 cm wäre.
[mm] \alpha [/mm] wäre 45 Grad, also wäre der Radius des Zylinders dann 7,07 cm. Wahrscheinlich könnt ihr euch das ohne Zeichnung nicht vorstellen, aber ich weiß leider nicht, wie man sowas macht. Aber falls mir einer von euch eine Graphik erstellen könnte, in der ich sehen kann, dass der Radius des Zylinders gleich dem Radius des Kreises ist, wäre ich demjenigen wirklich sehr dankbar, weil ich mir das überhaupt nicht vorstellen kann.
Danke schon mal im Vorraus!
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Hallo!
Ja, diese Frage hatten wir schonmal diese Tage, allerdings werd ich noch ein wenig auf dein Problem eingehen. Dein Mitschrieb ist etwas konfus.
> [mm]V_{Z}= \pi *10^{2}*h[/mm]
>
> [mm]A_{O}=[/mm] 4 [mm]\pi r^{2}[/mm]
> [mm]\gdw A_{O}[/mm] = 4000 [mm]\pi[/mm]
Nein, das stimmt nicht, da du hier tatsächlich davon ausgehst, dass Kugel und Zylinder den gleichen Radius haben, das wäre nur der Fall bei h=0.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wozu die Kugeloberfläche gegeben ist, die braucht man nicht.
Und jetzt gehts los. Ich sortiere mal.
$V = [mm] \pi r_z^{2}h_z$ [/mm] ist richtig, ich hab da mal ein z für Zylinder dran gepackt. Von dieser Formel geht man aus.
DANN schaut man sich die Skizze an, in der die Kugel mit Zentrum im Ursprung ist, und der Zylinder eingezeichnet ist. Zeichne dir ein Dreieck ein, vom Ursprung zur Seite bis zur Zylinderwand, dann nach oben zum Berührunkt, und wieder zurück zum Ursprung. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen waagerechte Seite [mm] r_z [/mm] lang und dessen senkrechte Seite [mm] \frac{h}{2} [/mm] hoch ist. Die Hypothenuse ist [mm] r_k, [/mm] der Kugelradius.
Jetzt kannst du Pythagoras benutzen:
[mm] r_k^2=r_z^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2
[/mm]
[mm]r_z^{2} =100 -\bruch{1}{4} h^{2}[/mm]
Und hier ist Schluss! Denn das kannst du bereits in die Volumenformel einsetzen:
$V = [mm] \pi \left(100 -\bruch{1}{4} h^{2}\right)^{2}h_z$
[/mm]
Andererseits, ich sehe grade, wie dein Lehrer auf die 400 kommt. Du kannst ein größeres Dreieck einzeichnen, das durch die gegenüberliegenden Berührpunkte in der Skizze geht, dann ist die Höhe h, die Breite [mm] 2r_z [/mm] und die Hypothenuse ist der Kugeldurchmesser [mm] 2r_k. [/mm] DAnn steht da [mm] $(2r_k)^2=(2r_z)^2+h^2$, [/mm] ja, dann passt das.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 07.10.2007 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | | In eine Kugel mit 10 cm Radius soll ein möglichst großvolumiger Kegel eingeschrieben werden. |
Ich hab noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Wir haben in der Schule als Funktion V(h)= [mm] \bruch{1}{3} \pi (h^{3} [/mm] + 20 [mm] h^{2} [/mm] ) rausbekommen.
Die einschränkenden Bedingungen sind laut dem Lehrer 10<h<20.
Wieso muss h größer 10 sein?
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Hallo noxia!
Rein rechnerisch bräuchtest Du die Höhe nach unten hin lediglich mit $h \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \red{0} [/mm] \ [mm] \text{cm}$ [/mm] beschränken.
Es wird hier aber wohl davon ausgegegangen, dass die Spitze des Kegels auf der Kugeloberfläche liegt und die Grundfläche des Kegels in der anderen Hälfte der Kugel. Damit ergibt sich dies Mindesthöhe des Kegels mit [mm] $h_{\text{Kegel}} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] r_{\text{Kugel}} [/mm] \ = \ 10 \ [mm] \text{cm}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 09.10.2007 | | Autor: | noxia |
Jetzt verstehe ich es endlich. Danke für die Hilfe!
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Jetzt hab ich mal ne Frage:
wäre es möglich, das Ganze auf ein 2D-Problem zu reduzieren und zu sagen, dass wenn das einbeschriebene Rechteck im Kreis maximal ist, auch der Zylinder in der Kugel maximal ist?
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das wäre zumindest auch genau mein Ansatz gewesen.
Das klappt, da sowohl die Kugel als auch der Kreiszylinder jeweils rotationssymmetrisch sind.
Gruß vom
Roadrunner
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Da muss ich dich leider entäuschen. Die 2D-Variante ist gut als Skizze zu gebrauchen, aber NICHT äquivalent zum 3D-Problem:
3D wurde ja schon durchgekaut:
$V_Z=\pi r^2 h$
mit $r^2=r^2_k-h^2$
$V_Z=\pi (r^2_kh-h^3)$
Ableiten und =0 setzen führt auf
0=r^2_k-3h^2
also h=\frac{r_k}{\wurzel{3}}
Jetzt in 2D, da gehsts um die Fläche
$A=2hr$
Die Formel für r bleibt gleich:
$A=2h\wurzel{r^2_k-h^2}=2\wurzel{r^2h_k^2-h^4}$
Ableiten und null setzen führt auf:
$0=\frac{2r^2_kh-4h^3} {2\wurzel{r^2_kh^2-h^4}}$
$0=r^2_k-2h^2$
${h=\frac{r_k}{\wurzel{2}}\neq \frac{r_k}{\wurzel{3}}$
Man kann es eigentlich auch logisch halbwegs verstehen: Macht man das Rechteck im Kreis ein wenig breiter, kommt oben und unten ein wenig Fläche weg, an den Seiten dazu. Bei der Kugel ist es etwas anders: Wenn du den Radius etwas vergrößerst, fügst du ringsrum gleich ziemlich viel Volumen hinzu.
Ein ähnliches Beispiel: Bei gegebenem Umfang ist das Quadrat die optimale Form. Bei den Zylindern ist die optimale Form bei gegebener Fläche aber eher das, was man als Konservendose kennt.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:33 Do 04.10.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Event_Horizon!
Da hast Du natürlich Recht und ich habe wieder nur das gelesen, was ich lesen wollte  .
Die Vereinfachung als 2D-Modell darf nur für die Bestimmung der Nebenbedingung herangezogen werden.
Die Hauptbedingung bleibt mit der Volumenformel selbstverständlich 3-dimensional.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Do 04.10.2007 | | Autor: | noxia |
Danke euch allen für die Hilfe! Da hab ich wohl falsch mitgeschrieben. Und dass die Frage hier schon einmal gestellt wurde, hab ich nicht gesehen, entschuldigung.
Aber jetzt hab ich es auf jeden Fall verstanden. =)
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