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| Aufgabe | | Ist das homomorphe Bild G' einer zyklischen Gruppe G zyklisch? Gibt es einen Zusammenhang zwischen |G| und |G'|? Kann man alle zyklischen Gruppen als homomorphe Bilder von [Z,+] erhalten? |
Hallo,
ich muss bis nächsten Freitag meine Hausaufgabe in Algebra abgeben und bei u.a. dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
Den ersten Teil der Frage habe ich bereits versucht:
Wenn G zyklisch ist, muss es ein erzeugendes Element a haben. Und wenn wir f(a) = b [mm] \in [/mm] G' setzen, dann gilt ja: f([mm] a^2 [/mm]) = f(a) * f(a) = b * b, weil f ein Homomorphismus ist. Dies können wir immer so weiter fortsetzen und erhalten, dass b G' erzeugt. Also muss G' zyklisch sein.
Ist das soweit richtig? Und hat jemand Ideen für die beiden anderen Aufgabenteile?
Bitte helft mir!
Manuela
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Der erste Teil ist richtig. Ein erzeugendes Element wird auf ein erzeugendes Element abgebildet.
Ist [mm] a^n=e, [/mm] so folgt [mm] e=f(e)=f(a^n)=b^n, [/mm] da f Homomorphismus. Das bedeutet: Ist G endlich erzeugt, so auch f(G).
Ist bereits [mm] b^k=e [/mm] mit k<n, k minimal mit dieser Eigenschaft, so kann man mittels Widerspruchbeweis zeigen, dass k ein Teiler von n ist.
Für unendlich erzeugte Gruppen ebenso. Also |G´| teilt |G|.
Damit ist die letzte Frage mit ja zu beantworten, d.h. alle zyklischen Gruppen sind homomorph zu einer der folgenden:
[mm] (\IZ,+), (\IZ/n\IZ,+) [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
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