Zyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist die folgende Gruppe zyklisch?
für eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 3 sei d [mm] \in S(\IR^2), [/mm] wobei [mm] S(\IR^2) [/mm] die symmetrische Gruppe der Menge [mm] \IR^2 [/mm] bezeichnet, die Drehung um den Winkel [mm] 2\pi/n [/mm] um den Ursprung und s [mm] \in S(\IR^2) [/mm] die Spiegelung an der x-Achse. Die Diedergruppe [mm] D_{n} [/mm] ist definiert durch
[mm] D_{n}: [/mm] = [mm] \{s^i \circ d^j : i \in \{0,1\}, j \in \{0,...,n-1\}\}
[/mm]
bezüglich der Kompostion [mm] \circ. [/mm] Ist die Diedergruppe [mm] (D_{n}, \circ), [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3, zyklisch? |
Liebe Mathigenies,
leider habe ich da wirklich null Ahnung wie diese Aufgabe anzupacken.
Wobei ich weiss um zu prüfen, dass eine Gruppe zyklisch ist, muss man ein erzeugendes Element finden.
kann mir jemand helfen?
Vielen Dank,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 02.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ist die folgende Gruppe zyklisch?
>
> für eine natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 3 sei d [mm]\in S(\IR^2),[/mm] wobei
> [mm]S(\IR^2)[/mm] die symmetrische Gruppe der Menge [mm]\IR^2[/mm]
> bezeichnet, die Drehung um den Winkel [mm]2\pi/n[/mm] um den
> Ursprung und s [mm]\in S(\IR^2)[/mm] die Spiegelung an der x-Achse.
> Die Diedergruppe [mm]D_{n}[/mm] ist definiert durch
>
> [mm]D_{n}:[/mm] = [mm]\{s^i \circ d^j : i \in \{0,1\}, j \in \{0,...,n-1\}\}[/mm]
>
> bezüglich der Kompostion [mm]\circ.[/mm] Ist die Diedergruppe
> [mm](D_{n}, \circ),[/mm] n [mm]\ge[/mm] 3, zyklisch?
> Liebe Mathigenies,
>
> leider habe ich da wirklich null Ahnung wie diese Aufgabe
> anzupacken.
>
> Wobei ich weiss um zu prüfen, dass eine Gruppe zyklisch
> ist, muss man ein erzeugendes Element finden.
Oder man wendet Theorie an.
Alternativ kann man auch zeigen, dass sie nicht zyklisch ist. Zyklische Gruppen sind ja insbesondere kommutativ. Ist die Diedergruppe kommutativ?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke für deine Antwort.
Wie kann ich prüfen ob die Diedergruppe kommutativ ist?
Sorry für diese Frage,
LG
|
|
|
| |
|
> Wie kann ich prüfen ob die Diedergruppe kommutativ ist?
Hallo,
durch nachrechnen.
Nimm Dir mal ein gleichseitiges Dreieck. Spiegele. Drehe um 120°. Was kommt raus?
Drehe um 120°. Spiegele. Stimmen die ergebnise überein.
Dasselbe für Quadrat, gleichseitiges 5-Eck.
Und dann für ein n-Eck.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
