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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mo 25.02.2019 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | | Gibt es mehrere ganze Zahlen $b [mm] \in \IZ$, [/mm] die die Kongruenz $3 * b [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \; [/mm] mod [mm] \; [/mm] 13$ erfüllen? |
Hallo,
ich hätte gesagt nein, denn:
Wir befinden uns wegen $mod [mm] \; [/mm] 13$ in einem Restklassenring und es gilt der Zusammenhang [mm] $\IZ_p \; [/mm] ist [mm] \; [/mm] Koerper [mm] \gdw [/mm] p [mm] \; [/mm] prim$. Somit ist [mm] $\IZ_{13}$ [/mm] ein Körper. Also ist [mm] $(\IZ_{13},*,1)$ [/mm] eine kommutative Gruppe und das Inverse eines jeden Elements ist eindeutig bestimmt. Da im obigen Ausdruck $b$ offensichtlich das Inverse von $3$ ist, ist dieses Eindeutig bestimmt.
Ist das korrekt?
Beste Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 25.02.2019 | | Autor: | Fulla |
> Gibt es mehrere ganze Zahlen [mm]b \in \IZ[/mm], die die Kongruenz [mm]3 * b \equiv 1 \; mod \; 13[/mm]
> erfüllen?
> Hallo,
>
> ich hätte gesagt nein, denn:
>
> Wir befinden uns wegen [mm]mod \; 13[/mm] in einem Restklassenring
> und es gilt der Zusammenhang [mm]\IZ_p \; ist \; Koerper \gdw p \; prim[/mm].
> Somit ist [mm]\IZ_{13}[/mm] ein Körper. Also ist [mm](\IZ_{13},*,1)[/mm]
> eine kommutative Gruppe und das Inverse eines jeden
> Elements ist eindeutig bestimmt. Da im obigen Ausdruck [mm]b[/mm]
> offensichtlich das Inverse von [mm]3[/mm] ist, ist dieses Eindeutig
> bestimmt.
>
> Ist das korrekt?
Hallo Thomas,
in [mm] $\mathbb Z_{13}$ [/mm] stimmt das, aber es soll ja [mm] $b\in\mathbb [/mm] Z$ sein.
Wenn du ein solches $b$ gefunden hast, kannst du mit Hilfe der Restklasseneigenschaft unendlich viele weitere finden.
Lieben Gruß,
Fulla
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