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| Aufgabe | Seien [mm]\sigma, \pi \in S_n [/mm] mit [mm]\sigma = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 }; \pi = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 4 & 3 & 5 } [/mm]
a) Finden Sie die Zyklenzerlegung
b) Berechnen Sie die Inverse
c) Schreiben Sie [mm] \sigma [/mm] als Produkt von Transpositionen
d) Berechnen Sie die Konjugierte [mm]\pi \sigma \pi^{-1}[/mm] von [mm] \sigma [/mm] mit [mm] \pi [/mm] |
Hallo,
zu a)
Zyklenzerlegung für [mm] \sigma:
[/mm]
(135)(24)
für [mm] \pi:
[/mm]
(16532)
b)
einfach die Zeilen vertauschen und wenn gewünscht nach der oberen neu anordnen:
[mm]\sigma^{-1} = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 & 6 }; \pi^{-1} = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 6 & 1 } [/mm]
c) Zyklenzerlegung einfach in Transpositionen aufteilen:
(13)(35)(24)
d)
von rechts beginnen und nach links arbeiten, um zu sehen, was auf was abgebildet wird:
[mm]\pi \sigma \pi^{-1} = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 6 & 1 & 5 & 2 } [/mm]
stimmt das so? Ist die Multiplikation das Gleiche wie die Verkettung von Permuationen bis auf Vertauschung der Permutationen? oder habe ich hier einen Denkfehler? Da ja die Verknüpfung von 2 Permutationen [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] als: [mm]P_2 \circ P_1 [/mm] definiert ist.
In welcher Beziehung steht das Konjugierte zur ursprünglichen Permutation?
Gibt es hier eine anschauliche Deutung?
Freue mich sehr über eine Antwort,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Di 30.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, das stimmt alles soweit ich das jetzt angeschaut habe. Für das Konjugierte gilt folgende Beziehung: Sei [mm] $\sigma$ [/mm] die Permutation der Elemente [mm] n_1,...,n_l [/mm] mit [mm] $\sigma [/mm] = [mm] (n_1,...,n_l)$
[/mm]
[mm] $\pi \sigma \pi^{-1} [/mm] = [mm] (\pi (n_1),\pi (n_2),...,\pi (n_l))$
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Di 30.10.2012 | | Autor: | DjHighlife |
servus Teo,
alles klar, danke für die Antwort :)
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