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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Di 14.06.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute ich habe hier ein Problem die Aufgabe zu Papier zu bringen.
Man zeige: [mm] S_{n} [/mm] wird von den Zyklen (1 2) = [mm] \pi [/mm] , ( 1 2 3 ..... n) = [mm] \varepsilon [/mm] erzeugt.
es gilt ( [mm] \pi [/mm] * [mm] \varepsilon)^{n-1} [/mm] = 1 also die id
Nun mein Problem ich kann mir bildlich vorstellen, was dort passiert.
Der Zyklus [mm] \pi [/mm] vertauscht immer 2 Zahlenpaare und der Zyklus [mm] \varepsilon [/mm] rückt alle zahlen eins weiter und mit den zwei aktionen kann man ja alle Kombinationen herstellen.
Nur ich habe keine Ahnung wie ich das aufschreiben soll, dass dieses auch gilt.
Vielen dank für eure Hilfe
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Hallo!
Du weißt ja, dass [mm] $S_n$ [/mm] von den Zyklen [mm] $\{(jk):\ j,k\in\{1,\dots,n\},\ j
Wenn du es schaffst, jeden dieser Zyklen mittels [mm] $\pi$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] darzustellen, hast du's geschafft. Am besten machst du das über Induktion.
Stell zunächst die Zyklen der Form $(1k)$ dar:
$k=2$: [mm] $(1,k)=(1,2)=\pi$.
[/mm]
Sei nun bereits für $(1,k)$ eine Darstellung gefunden. Dann gilt:
[mm] $(1,k+1)=(1,2)(2,k+1)(1,2)=\pi (2,k+1)\pi=\pi(1,\dots,n)(1,k)(n,\dots,1)\pi=\pi\epsilon (1,k)\epsilon^{-1}\pi$.
[/mm]
Jetzt die Zyklen der Form $(jk)$ mit $j<k$:
[mm] $(j,k)=(1,\dots,n)(j-1,k-1)(n,\dots,1)=\epsilon (j-1,k-1)\epsilon^{-1}=\dots=\epsilon^{k-j} (1,k-j)\epsilon^{j-k}$...
[/mm]
Für [mm] $(\pi*\epsilon)^{n-1}=e$: [/mm] Beachte, dass [mm] $\pi*\epsilon=(2,3,\dots,n)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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