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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion, die jeden Wert genau zweimal annimmt.
a) Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist.
b) Gibt es eine stetige Funktion g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] die jeden Wert genau dreimal annimmt? |
Hallo zusammen,
auch für diese Aufgabe wäre ich für Tipps bzw. Ansätze dankbar!
Danke!
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> Sei f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, die jeden Wert genau
> zweimal annimmt.
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> a) Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist.
Indirekter Beweis: Angenommen [mm]f[/mm] würde jeden Wert genau zwei mal annehmen und wäre stetig. Seien etwa [mm]a < c[/mm] Stellen, an denen [mm]f[/mm] denselben Wert annimmt ([mm]f(a)=f(c)[/mm]). In diesem Falle muss [mm]f[/mm] auf dem kompakten Intervall an einer gewissen Stelle, sagen wir [mm]b\in ]a;c[[/mm] einen grössten Wert [mm]> f(a)[/mm] oder einen kleinsten Wert [mm]zwischen [mm]f(a)[/mm] und [mm]f(b)[/mm] liegenden Werte mehr als zweimal annehmen müsste: Widerspruch.
> b) Gibt es eine stetige Funktion g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] die jeden
> Wert genau dreimal annimmt?
Vielleicht gibt Dir meine Antwort zu a) auch eine Idee für die Beantwortung von b).
> Hallo zusammen,
>
> auch für diese Aufgabe wäre ich für Tipps bzw. Ansätze
> dankbar!
>
> Danke!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich würde sagen, es gibt keine stetige Funktion die jeden Wert genau dreimal annimmt.
Eben, der Zwischenwertsatz sagt ja, dass zwischen 2 Funktionswerten, meinetwegen f(a) und f(b) genau eine Stelle (z) angenommen wird! Daher ist eine Funktion nicht möglich die jeden Wert 3 mal annimmt....
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> Ich würde sagen, es gibt keine stetige Funktion die jeden
> Wert genau dreimal annimmt.
> Eben, der Zwischenwertsatz sagt ja, dass zwischen 2
> Funktionswerten, meinetwegen f(a) und f(b) genau eine
> Stelle (z) angenommen wird! Daher ist eine Funktion nicht
> möglich die jeden Wert 3 mal annimmt....
Mir will diese Überlegung nicht so recht einleuchten: nicht, weil ich glaube, dass eine stetige Funktion [mm]\IR\rightarrow \IR[/mm] jeden Wert genau dreimal annehmen kann, sondern weil ich sie nicht schlüssig finde. Zwar bin ich mir völlig im Klaren darüber, dass ich nicht gerade einer der Hellsten bin, denke aber dennoch, dass Du Deine Überlegung etwas präziser ausformulieren solltest.
Etwa so: sind [mm]a,b,c[/mm] mit [mm]a 1[/mm] verwenden (nicht nur für die Fälle [mm]n=2,3[/mm].
Nachtrag: Die obige Überlegung ist, für sich alleine genommen, entschieden nicht wasserdicht. Es ist ja zunächst nicht auszuschliessen, dass, z.B., alle Werte unterhalb der unteren Grenze von [mm]f([a;c])[/mm] bis und mit [mm]c[/mm] bereits genau drei mal angenommen worden sind.
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