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| Aufgabe | Sei f: [0,1] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(0) =f(1). Zeigen Sie, dass ein x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] existiert mit f(x) = f(x+ [mm] \bruch{1}{2}).
[/mm]
Hinweis: Betrachte Sie die Hilfsfunktion g: [0, [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , gegeben durch g(x):= f(x)-f(x+ [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] |
Hallo,
das ist eine alte Klausuraufgabe und ich habe leider keinen blassen Schimmer, wie ich hier vorgehen soll. Könnte mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 05.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [0,1] -> [mm]\IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(0) =f(1).
> Zeigen Sie, dass ein x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\bruch{1}{2}][/mm] existiert mit
> f(x) = f(x+ [mm]\bruch{1}{2}).[/mm]
>
> Hinweis: Betrachte Sie die Hilfsfunktion g: [0,
> [mm]\bruch{1}{2}][/mm] -> [mm]\IR[/mm] , gegeben durch g(x):= f(x)-f(x+
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm]
>
>
> Hallo,
> das ist eine alte Klausuraufgabe und ich habe leider
> keinen blassen Schimmer, wie ich hier vorgehen soll.
> Könnte mir jemand einen Tipp geben?
Einen Tipp hast Du schon: der Hinweis !
1. g ist stetig.
2. Zeige: g(0)=-g(1/2)
3. Ist f(0)=f(1/2), so bist Du fertig.
4. Sei f(0) [mm] \ne [/mm] f(1/2), so haben g(0) und g(1/2) verschiedene Vorzeichen.
Was fällt Dir dazu ein ?
FRED
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> Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 05.04.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ah, alles klar, vielen Dank.
Wenn f(0) [mm] \not= f(\bruch{1}{2}), [/mm] dann haben g(0) un [mm] g(\bruch{1}{2}) [/mm] verschiedene Vorzeichen. Dann gibt es nach dem ZWS mindestens eine Nullstelle im Intervall [0, [mm] \bruch{1}{2}).
[/mm]
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