Zwischenwerteigenschaft < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Do 02.12.2010 | | Autor: | egolfo |
| Aufgabe | Die drei Aussagen $(a)-(c)$ sind äquivalent:
(a) $f$ hat die Zwischenwerteigenschaft;
(b) für jedes Intervall [mm] $I\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] ist $f(I)$ ein Intervall;
(c) für jedes abgeschlossene Intervall [mm] $I\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] ist $f(I)$ ein Intervall;
(d) für jedes offene Intervall [mm] $I\subseteq\mathbb{R}$ [/mm] ist $f(I)$ ein Intervall dagegen nur eine Folge jeder drei Aussagen $(a)-(c)$, jedoch nicht dazu äquivalent, wie das Gegenbeispiel:
Sei [mm] $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm]
[mm] f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{x<0}\\ 1, & \mbox{x=0}\\ \frac{1}{sin(x)}, & \mbox{x>0} \end{array}\right. [/mm] |
Hallo Mathe-Fans,
ich habe eine Frage zu den folgenden Aussagen. Ich soll diese beweisen. Nun ist mir, nachdem ich fertig war aufgefallen, dass meine Voraussetzung, dass f stetig ist, bei den Aussagen eben nicht voraussgesetzt wird.
Sonst hätte ich damit argumentieren können, dass f Minimas und Maximas hätte.
Aber wie soll ich nun beginnen, ohne diese Voraussetzung? Ich weiß gar nicht genau, wie dort beginnen soll...
Die Definition der Zwischenwerteigenschaft lautet:
"Sei [mm] $I\subseteq\mathbb{R}$ [/mm] ein Intervall. Man sagt, dass eine Funktion [mm] $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] die [mm] \textit{Zwischenwerteigenschaft} [/mm] auf $I$ besitzt, sofern es zu jedem Intervall [mm] $[a,b]\subseteq [/mm] I$ und jedem [mm] $\eta$ [/mm] zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ein [mm] $\xi\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $f(\xi)=\eta$ [/mm] gibt."
Kann mir jemand helfen? Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Dann beginnen wir mal.....
Ich zeige Dir: (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b)
Seien u,v [mm] \in [/mm] f(I) und u<v. Zu zeigen ist: [u,v] [mm] \subseteq [/mm] f(I)
Es ex. a.b [mm] \in [/mm] I mit: u=f(a) und v=f(b). Sei w [mm] \in [/mm] [u,v]. Die ZWE liefert nun: es ex. ein c [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(c) =w, also w [mm] \in [/mm] f(I).
Damit: [u,v] [mm] \subseteq [/mm] f(I)
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:13 Mo 06.12.2010 | | Autor: | egolfo |
Sorry für meine späte Antwort, aber ich bin einfach nicht früher dazu gekommen. Dein Beweis habe ich soweit durchschaut, glaube ich.
Ich hab mich gleich mal selbst versucht:
[mm] (b)\Rightarrow(a)
[/mm]
Z.z. f hat ZWE
Beweis:
Sei [mm] $w\in [/mm] f(I)$. Nach Voraussetzung gilt [mm] $[u,v]\subseteq [/mm] f(I)$. Daher gilt also auch [mm] $w\in[u,v]$. [/mm] Dann existieren aber bestimmt auch [mm] $a,b\in [/mm] I$ mit $u=f(a)$ und $v=f(b)$. Sei nun w so gewählt, dass [mm] $f(a)\le w\le [/mm] f(b)$. Dann gibt es aber bestimmt auch ein [mm] $c\in[a,b]$, [/mm] sodass $f(c)=w$, was ja nichts anderes als die ZWE von f ist. [mm] \Box
[/mm]
Bei der Folgerung [mm] (a)\Rightarrow(c) [/mm] bin ich überfragt. Ich hab das ganze ja für ein allgemeines Intervall gezeigt. Dann gilt das doch für ein abgeschlossenes Intervall doch erst recht. Da würde nur noch die Voraussetzung [mm] "$x\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $a\le x\le [/mm] b$" einfließen, was am Beweis ja nichts ändert, oder?
Und soll ich [mm] (b)\Rightarrow(c) [/mm] auch beweisen? In den jeweiligen Aussagen steckt jeweils drin, dass f(I) ein Intervall ist. Da wüsste ich gar nicht, was ich beweisen sollte...
Danke schon mal für eure Hilfe 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mi 08.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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