Zwischenwerteig.,sin(1/x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Sa 13.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die Zwischenwerteigenschaft besitzt.
$ [mm] f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} [/mm] $ |
Hallo zusammen,
die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft an 0 mach mir Probleme!
Für x [mm] \not=0 [/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind für x [mm] \not=0. [/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist wieder stetig.
Für x=0 ist f unstetig da:
[mm] r_n [/mm] := [mm] \frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} r_n [/mm] =0
[mm] lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] n + [mm] \pi/2)= [/mm] sin [mm] (\pi/2) [/mm] =1 [mm] \not= [/mm] 0= f(0)
ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und zu jeden c zwischen f(a) und f(b) => [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c
[/mm]
Da f für [mm] x\not= [/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für x=0.
Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und f(b) ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] existiert mit [mm] f(x_0)=0. [/mm] Oder ist etwas anderes zu zeigen?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 13.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die
> Zwischenwerteigenschaft besitzt.
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft
> an 0 mach mir Probleme!
>
> Für x [mm]\not=0[/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind
> für x [mm]\not=0.[/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist
> wieder stetig.
> Für x=0 ist f unstetig da:
> [mm]r_n[/mm] := [mm]\frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]lim_{n->\infty} r_n[/mm] =0
> [mm]lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty}[/mm] sin(2 [mm]\pi[/mm] n +
> [mm]\pi/2)=[/mm] sin [mm](\pi/2)[/mm] =1 [mm]\not=[/mm] 0= f(0)
>
> ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm]\subseteq \IR[/mm] und zu jeden c
> zwischen f(a) und f(b) => [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b] mit
> [mm]f(x_0)=c[/mm]
> Da f für [mm]x\not=[/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der
> Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
> Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für
> x=0.
>
> Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
> Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und
> f(b) ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] existiert mit [mm]f(x_0)=0.[/mm] Oder ist
> etwas anderes zu zeigen?
>
> LG,
> sissi
>
Wegen |sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] f(\IR) \subseteq [/mm] [-1,1].
Zeigen sollst Du [mm] f(\IR) [/mm] =[-1,1].
Sei also [mm] y_0 \in [/mm] [-1,1].
Fall 1: [mm] y_0 [/mm] =0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=0.
[/mm]
Fall 2: [mm] y_0 \ne [/mm] 0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:49 Sa 13.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
Danke für die Antwort.
Trotz häufigen Lesens&Durchdenken deiner Antwort bin ich nicht darauf gekommen, wieso das die Zwischenwerteigenschaft ist.
Es ist doch zuzeigen:
Für alle Intervalle [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] [f(a), [mm] f(b)]\subseteq [/mm] [-1,1]: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c
[/mm]
bzw.: [f(a), f(b)] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])
Hier ist ja ein [mm] x_0 [/mm] gesucht, dass in [mm] [a,b]\subseteq \IR [/mm] liegt. Aber du sucht eines was in [mm] \IR [/mm] liegt, dass muss ja nicht unbedingt in [a,b] liegen?
-) [mm] c\not= [/mm] 0 -> f stetig und deshalb Zwischenwertseigenschaft
-) c=0
Sei A:= [mm] \{\{ \frac{1}{k \pi} | k \in \IZ\} \cup \{0\}\}
[/mm]
Ist a [mm] \le [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0 so wähle [mm] x_0 [/mm] := 0
Deshalb betrachte ich die Fälle a,b <0 bzw. a,b >0
Jetzt ist doch zz, dass in jedem solchen Intervall [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: \frac{1}{k \pi} \in [/mm] [a,b] oder ?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 15.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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