Zwischenkörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 30.12.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Und zwar frage ich mich folgendes:
Wie bestimmt man alle Zwischenkörper einer Erweiterung? Gibt es dafür eine bestimmte Systematik?
Angenommen man nimmt den Körper der rationalen Zahlen also Q und erweitert diesen zu [mm] Q(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5}) [/mm] Wie erhält man nun alle Zwischenkörper? Ist es zunächst sinnvoll eine Basis von [mm] Q(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5}) [/mm] anzugeben?
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen,
> Und zwar frage ich mich folgendes:
> Wie bestimmt man alle Zwischenkörper einer Erweiterung?
> Gibt es dafür eine bestimmte Systematik?
> Angenommen man nimmt den Körper der rationalen Zahlen also
> Q und erweitert diesen zu
> [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5})[/mm] Wie erhält man nun
> alle Zwischenkörper? Ist es zunächst sinnvoll eine Basis
> von [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5})[/mm] anzugeben?
> jacob
In diesem Fall handelt es sich um eine Galois-Erweiterung von [mm] $\IQ$. [/mm] Du kannst also die Galoisgruppe bestimmen und alle Untergruppen dieser; diese korrespondieren dann zu den Zwischenkoerpern.
Falls du eine beliebige Erweiterung $L / K$ gegeben ist, die separabel ist, kannst du den Galoisabschluss [mm] $\hat{L}$ [/mm] von $L$ ueber $K$ betrachten und davon die Galoisgruppe [mm] $Gal(\hat{L} [/mm] / K)$ bestimmen; dann bestimmst du die Untergruppe $U$ mit $Fix(U) = L$. Die Zwischenkoerper von $L / K$ entsprechen genau den Untergruppen von [mm] $Gal(\hat{L} [/mm] / K)$, welche $U$ enthalten.
(Und ja, das macht das ganze nicht umbedingt einfacher auszurechnen. Aber es ist besser als nichts  )
LG Felix
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