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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 11.11.2014 | | Autor: | unfaehik |
| Aufgabe | | Für eine Primzahl p [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \IQ[\wurzel{p}] [/mm] := { [mm] x+y*\wurzel{p}: [/mm] x,y [mm] \in \IQ [/mm] }. Zeigen Sie, dass [mm] \IQ[\wurzel{p}] [/mm] ein Zwischenkörper von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] ist. (Insbesondere existieren unendlich viele Zwischenkörper von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR.) [/mm] |
Moinsen zusammen. Ich bin grade über eine Aufgabe gestolpert die wir in der Vorlesung noch nicht hatten.
Was ist ein Zwischenkörper und was kann man damit anstellen?
So wie ich es verstanden habe ist der Zwischenkörper entweder [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IR [/mm] (was eigentlich auch allgemein als [mm] \IR [/mm] zusammengefasst hätte sein können) abhängig von p.
Ich hab dann einfach
[mm] x+y*\wurzel{p} [/mm] quadriert zu
x²+y²*p
da x und y element von [mm] \IQ [/mm] sind hab ich es dann noch zusätzlich so umschrieben:
[mm] (\bruch{a}{b})² [/mm] + [mm] (\bruch{c}{d})² [/mm] *p.
die Brüche gehören ja wie wir wissen zu [mm] \IQ.
[/mm]
Jetzt hab ich eine Fallunterscheidung gemacht.
[mm] (\bruch{a}{b})² \in \IQ
[/mm]
[mm] (\bruch{c}{d})²*p \in \IQ [/mm] oder [mm] \IR.
[/mm]
1. Fall [mm] (\bruch{c}{d})²*p [/mm] ist [mm] \in [/mm] von [mm] \IQ
[/mm]
Wäre dann ja [mm] \IQ [/mm] + [mm] \IQ [/mm] = [mm] \IQ
[/mm]
2. Fall [mm] (\bruch{c}{d})²*p [/mm] ist [mm] \in [/mm] von [mm] \IR
[/mm]
Wäre dann [mm] \IQ [/mm] + [mm] \IR =\IR
[/mm]
Ich zweifel allerdings an mein Ergebnis, da ich mir nichteinmal sicher bin was genau mit Zwischenkörper von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] gemeint ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für eine Primzahl p [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]\IQ[\wurzel{p}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {
> [mm]x+y*\wurzel{p}:[/mm] x,y [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Zeigen Sie, dass
> [mm]\IQ[\wurzel{p}][/mm] ein Zwischenkörper von [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IR[/mm] ist.
> (Insbesondere existieren unendlich viele Zwischenkörper
> von [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IR.)[/mm]
> Moinsen zusammen. Ich bin grade über eine Aufgabe
> gestolpert die wir in der Vorlesung noch nicht hatten.
> Was ist ein Zwischenkörper und was kann man damit
> anstellen?
> So wie ich es verstanden habe ist der Zwischenkörper
> entweder [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IR[/mm] (was eigentlich auch allgemein als
> [mm]\IR[/mm] zusammengefasst hätte sein können) abhängig von p.
>
> Ich hab dann einfach
> [mm]x+y*\wurzel{p}[/mm] quadriert zu
>
> x²+y²*p
in [mm] $\IF_2$ [/mm] darfst Du meinetwegen
[mm] $(a+b)^2=a^2+b^2$
[/mm]
rechnen.
Aber hier: Wie lautet nochmal die erste binomische Formel?
Ich teste Deine Rechnung mal:
Du gibst mir
[mm] $(5+10)^2=15^2=225$
[/mm]
Euro, und nach Deiner Rechnung sind wir quitt, wenn ich Dir
[mm] $5^2+10^2=125$
[/mm]
Euro zurückgebe.
Also damit bin ich einverstanden - machen wir das? Hand drauf?
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
(P.S. Komisch: [mm] $225-125=100\,$ [/mm] Euro soll ich also dadurch einnehmen...
Glaub' Du diesen Zahlen aber nicht, sie sind so verlogen...![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") )
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 11.11.2014 | | Autor: | unfaehik |
ajajajajaj. recht hast du sorry für den fehler :X
Nochmal nur diesmal versuch ichs ohne fehler.
[mm] (\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2 [/mm] *p
[mm] (\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2 \in \IQ
[/mm]
1. Fall [mm] (\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2 [/mm] * p gibt eine Zahl vom Element [mm] \IQ [/mm] raus.
2. Fall [mm] (\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2 [/mm] * p gibt eine Zahl vom Element [mm] \IR [/mm] raus.
Somit ist [mm] \IQ[\wurzel{p}] [/mm] ein Zwischenkörper von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR. [/mm]
Wäre das dann so richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ajajajajaj. recht hast du sorry für den fehler :X
>
>
> Nochmal nur diesmal versuch ichs ohne fehler.
> [mm](\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2[/mm] *p
>
> [mm](\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2 \in \IQ[/mm]
>
> 1. Fall [mm](\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2[/mm] * p gibt eine Zahl vom
> Element [mm]\IQ[/mm] raus.
>
> 2. Fall [mm](\bruch{a*d+c*b}{b*d})^2[/mm] * p gibt eine Zahl vom
> Element [mm]\IR[/mm] raus.
>
> Somit ist [mm]\IQ[\wurzel{p}][/mm] ein Zwischenkörper von [mm]\IQ[/mm] und
> [mm]\IR.[/mm]
> Wäre das dann so richtig ?
ich weiß nicht, was Du wirklich machen willst. Was hat man denn zu
prüfen, wenn gesagt wird, dass eine Menge (mit Verknüpfungen)
ein Körper ist?
Schlag' nach, wie
![[]](/images/popup.gif) Zwischenkörper
definiert werden, und prüfe diese Eigenschaften.
P.S. [mm] $\IQ \subseteq \IQ[\sqrt{p}]$ [/mm] ist eigentlich trivial (genau hingucken, wie [mm] $\IQ[\sqrt{p}]$ [/mm] definiert
ist. Ebenso ist [mm] $\IQ[\sqrt{p}] \subseteq \IR$ [/mm] trivial.
Für [mm] $\IQ \subsetneqq \IQ[\sqrt{p}] \subsetneqq \IR$ [/mm] braucht's noch Argumente.
Und, wie gesagt: Nachrechnen, dass [mm] $\IQ[\sqrt{p}]$ [/mm] überhaupt Körper ist. Dafür
muss auch klar sein, wie Addition und Multipl. auf [mm] $\IQ[\sqrt{p}]$ [/mm] definiert sind,
und dass diese Abbildungen *abgeschlossen* sind...
P.S. Ich sehe gerade, dass in dem Link wohl leider genau was falsches
steht. Bei:
"Ein Körper M heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung [mm] L\subseteq [/mm] K, wenn M ein Unterkörper von L und ein Oberkörper von K ist."
sollten wohl die Wörter "Oberkörper" und "Unterkörper" gegeneinander
vertauscht werden!
Oder anstatt $L [mm] \subseteq [/mm] K$ sollte da $L [mm] \supseteq [/mm] K$ stehen - das passt wohl
besser zum Begriff "Körpererweiterung".
Gruß,
Marcel
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