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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 17.11.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Es seien die Integrale
[mm]y_n:=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+a} dx}[/mm] für n = 0, 1, 2, ... und a > 0 gegeben. Leite die Rekursion
[mm]y_0=ln(1+a)-ln(a)[/mm] für n = 0, und
[mm]y_n=\bruch{1}{n}-a*y_{n-1}[/mm] für n > 0 her. |
Hi,
ich möchte obige Aufgabe lösen. Den Rekursionsanfang habe ich bereits ohne Probleme herleiten können. Jedoch hapert es noch mit der zweiten Rekursionsformel. Ich habe zwei Wege versucht:
Erst einmal die partielle Integration nach [mm]x^n[/mm] und dann nach [mm]\ln (x + a)[/mm], also:
[mm]
\begin{aligned}
\int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}} {\text{ }}dx = & \ln (1 + a) - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n \cdot n \cdot \ln (x + a)}}
{x}{\text{ }}dx} \\
= & \ln (1 + a) - n \cdot \int\limits_0^1 {x^{n - 1} \cdot \ln (x + a){\text{ }}dx} \\
= & \ln (1 + a) - n \cdot \left( {\frac{{\ln (1 + a)}}
{n} - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{n \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} } \right) \\
= & \ln (1 + a) - \ln (1 + a) - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
\end{aligned}
[/mm]
Das führte zu nichts. Stattdessen mal nach [mm]\frac{1}{{x + a}}[/mm] und dann nach [mm]x^{n + 1}[/mm] partiell integrieren, also:
[mm]
\begin{aligned}
\int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}} {\text{ }}dx = & \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}} + \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{(x + a)^2 (n + 1)}}{\text{ }}dx} \\
= & \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}} + \left( { - \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}}} \right) + \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{x \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{x \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
\end{aligned}
[/mm]
Zweimal im Kreis gedreht, nichts bei rumgekommen. Ich hoffe ihr könnt mir die richtige Richtung zeigen ;)
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Hi,
> Es seien die Integrale
> [mm]y_n:=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+a} dx}[/mm] für n = 0, 1,
> 2, ... und a > 0 gegeben. Leite die Rekursion
> [mm]y_0=ln(1+a)-ln(a)[/mm] für n = 0, und
> [mm]y_n=\bruch{1}{n}-a*y_{n-1}[/mm] für n > 0 her.
> Hi,
>
> ich möchte obige Aufgabe lösen. Den Rekursionsanfang habe
> ich bereits ohne Probleme herleiten können. Jedoch hapert
> es noch mit der zweiten Rekursionsformel. Ich habe zwei
> Wege versucht:
> Erst einmal die partielle Integration nach [mm]x^n[/mm] und dann
> nach [mm]\ln (x + a)[/mm], also:
> [mm]
\begin{aligned}
\int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}} {\text{ }}dx = & \ln (1 + a) - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n \cdot n \cdot \ln (x + a)}}
{x}{\text{ }}dx} \\
= & \ln (1 + a) - n \cdot \int\limits_0^1 {x^{n - 1} \cdot \ln (x + a){\text{ }}dx} \\
= & \ln (1 + a) - n \cdot \left( {\frac{{\ln (1 + a)}}
{n} - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{n \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} } \right) \\
= & \ln (1 + a) - \ln (1 + a) - \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
\end{aligned}
[/mm]
>
> Das führte zu nichts. Stattdessen mal nach [mm]\frac{1}{{x + a}}[/mm]
> und dann nach [mm]x^{n + 1}[/mm] partiell integrieren, also:
>
> [mm]
\begin{aligned}
\int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}} {\text{ }}dx = & \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}} + \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{(x + a)^2 (n + 1)}}{\text{ }}dx} \\
= & \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}} + \left( { - \frac{1}
{{(1 + a)(n + 1)}}} \right) + \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{x \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^{n + 1} }}
{{x \cdot (x + a)}}{\text{ }}dx} \\
= & \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}
{{x + a}}{\text{ }}dx} \\
\end{aligned}
[/mm]
>
> Zweimal im Kreis gedreht, nichts bei rumgekommen. Ich hoffe
> ihr könnt mir die richtige Richtung zeigen ;)
Hihi, tja manchmal sieht man die einfachen ansaetze als letztes...  Ich haette vermutlich auch zuerst partielle integration ausprobiert.
Versuch doch stattdessen mal geschicktes erweitern des bruches:
[mm] $\int\frac{x^n}{x+a}\,dx=\int\frac{x^{n-1}(x+a)-x^{n-1}a}{x+a}\,dx$
[/mm]
gruss
matthias
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