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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 20.01.2005 | | Autor: | Tina2711 |
Hallo!
Ich bräuchte dringend Hilfe...
Ich verstehe nicht, wie ich die zweite Ableitung der Funktion e^(1/x) berechnen soll. Mit der Kettenregel komme ich auf die erste Ableitung [mm] -(1/x^2)e^{1/x} [/mm] - aber wie soll ich diese Funktion weiter ableiten??
Wäre seeehr dankbar für Hilfe!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Do 20.01.2005 | | Autor: | cologne |
hallo tina,
die erste ableitung ist ja schon richtig und für die zweite ableitung solltest du die produktregel anwenden (dabei brauchst du dann auch wieder die kettenregel).
liebe grüße gerd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
also ich hatte dieselbe Aufgabe im Heft und habe mich dieser jetzt mal angenommen.
f(x)= [mm] e^{1/x} [/mm] = [mm] e^{x^{-1}}
[/mm]
demnach ergibt sich - so wie du auch richtig errechnet hattest - die erste Abl. : f'(x) = [mm] e^{x^{-1}} \*{( \bruch{-1}{x²} )} [/mm] oder auch so geschrieben: f'(x) = [mm] e^{x^{-1}} \* (-x^{-2})
[/mm]
da nämlich [mm] \bruch{-1}{x²} [/mm] = [mm] (-x^{-2}) [/mm] ist. oder net ?!
dann ist auch die zweite Abl. viel einfacher:
--> Produktregel: f(x)= u(x) * v(x) => f'(x)= u'(x) * v(x) + v'(x) * u(x)
f''(x)= [mm] e^{x^{-1}} \* (-x^{-2}) \* (-x^{-2}) [/mm] + [mm] e^{x^{-1}} [/mm] * [mm] ({2x^{-3}})
[/mm]
vereinfacht : f''(x)= [mm] e^{x^{-1}} \* {(-x^{-2}) ^{2}} [/mm] + [mm] e^{x^{-1}} [/mm] * [mm] ({2x^{-3}})
[/mm]
nochmal vereinfacht: f''(x)= [mm] e^{x^{-1}} \* (-x^{-4}) [/mm] + [mm] e^{x^{-1}} [/mm] * [mm] ({2x^{-3}})
[/mm]
nun nur noch ausklammern: f''(x)= [mm] e^{x^{-1}} \* {((-x^{-4}) + ({2x^{-3}}))}
[/mm]
ich hoffe mal das des so richtig ist...
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hallo tina,
also der Knaus hat soweit schon alles gesagt aber er hat zum schluß einen vorzeichenfehler gemacht.
[mm]f''(x)=\bruch{e^\bruch{1}{x}(1+2x)}{x^4}[/mm]
so stimmts...noch einen schönen tag
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
hmm ich würde sehr gern wissen wie du zu deinem ergebnis kommst. kannst du deine zwischenschritte mal aufschreiben??
> also der Knaus hat soweit schon alles gesagt aber er hat
> zum schluß einen vorzeichenfehler gemacht.
>
> [mm]f''(x)=\bruch{e^\bruch{1}{x}(1+2x)}{x^4}[/mm]
>
kann deinen rechenweg nicht nachvollziehen und finde auch meinen fehler nicht... :-/
ich geh doch richtig in der Annahme, dass [mm] (-x^{-2}) [/mm] abgeleitet [mm] (2x^{-3}) [/mm] ergibt. da sollte das vorzeichen + und nicht minus sein, richtig?!
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hallo knaus,
jap, du gehst richtig in der annahme, dass [mm]-x^{-2}[/mm] differenziert gleich [mm]2x^{-3}[/mm] ergibt.
[mm]f'(x)=\bruch{-e^\bruch{1}{x}}{x^2}[/mm]
also ich bin mit der quotientenregel vorgegangen
[mm]f''(x)=\bruch{vu'-v'u}{v^2}[/mm] wobei u (zähler) und v (nenner) von f'(x) ist.
[mm]f''(x)=\bruch{x^2(\bruch{e^\bruch{1}{x}}{x^2})-(-e^\bruch{1}{x})2x}{x^4}[/mm]
nun kann man noch ausklammern
[mm]f''(x)=\bruch{e^\bruch{1}{x}(1+2x)}{x^4}[/mm]
hoffe ich konnte behilflich sein
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
ach ja shit, hab meine Vorzeichenfehler entdeckt.....
blödsinniger quadrierfehler: [mm] (-x^{-2}) [/mm] * [mm] (-x^{-2}) [/mm] ist bekannterweise nicht [mm] (-x^{-4}) [/mm] sondern [mm] (x^{-4}) [/mm]
damit ergibt sich die richtige zweite Ableitung: [mm] e^{x^{-1}} [/mm] * [mm] {((x^{-4}) + ({2x^{-3}}))}
[/mm]
jetzt haben wir gezeigt, dass man eine simple funktion sehr schwer aussehen lassen kann und auch mit zwei verschiedenen Lösungen zum Ziel kommt...
cooler "mathe-battle" :-P
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