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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 02.02.2010 | | Autor: | abudabu |
Hallo Leute,
ich habe jetzt schon eine Weile recherchiert, bin jetzt aber an einem Punkt, wo ich nicht weiter komme - wäre nett, wenn jemand einen Tipp hätte.
Ich betrachte eine Maschine, die entweder funktionieren oder Kaputt sein kann. MTTF = Mean time to fail gibt dabei die Mittlere Dauer bis zum Ausfall, MTTR = Maen time to repair die mittlere Dauer bis zur Reparatur an.
Wie kann ich diese Werte in ein Diagramm überführen, dass aussagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit mir die Maschine in einer 8-Stunden-Schicht welche Zeit effektiv zur Verfügung steht.
Soll also so aussehen:
^ f ...
| . .
|. .
------------------->Verfügbare Zeit in Schicht
1 2 3 4 5 6 7 8
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 03.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
die Antwort kommt auf die Randbedingungen an.
Angenommen,
die Maschine ist zu Schichtbeginn frisch repariert,
die MTTF ist 7 Stunden,
MTTR eine Stunde,
dann steht die Maschine
im Mittel bei eine 8-Stunden-Schicht
7 Stunden zur Verfügung.
Einverstanden?
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abudabu |
Hallo Karsten,
danke für die schnelle Antwort. Mein Problem ist, dass ich von diesen Parametern ausgehend doch irgendwie auf eine Verteilung kommen müsste. Igendwas wie: Es sei u die Zeit, die die Maschine innerhalb einer Schicht verfügbar ist.
0 h<= u < 1 h -> 5%
1 h<= u < 2 h -> 10%
2 h<= u < 3 h -> 10 %
...
7 h <= u < 8 h -> 5%
Summe = 100%
Im Endeffekt müsste sich das ganze ja dann als kontinuierliche Dichtefunktion darstellen lassen.
Ich habe auch eine abweichende Betrachtung gefunden, hier werden MTTF und MTTR als Ausfall. und Reparaturwahrscheinlichkeit betrachtet, falls das weiterhilft:
We consider machines, which could be in two states, up and down.When up, parts are produced; when down, no production takes place and the machine is under repair. Transition rates from up to down and from down to up are p(t)and r(t), respectively, where t is the time the machine spent in the respective state. In other words, if the machine went up at t =0, it goes down during the infinitesimal interval (t, t+δt)withprobability p(t)δt. Similarly, transition from down to up occurs during (t, t +δt)withprobability r(t)δt. Obviously, the uptime and downtime defined by this model are randomvariableswith probability density functions (pdf’s) induced by p(t)and r(t).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mi 03.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
mit solchen Fragen befasst sich die
Zuverlässigkeitstheorie,
für die ich kein Fachmann bin.
Als ersten, womöglichen falschen, Ansatz würde ich die Exponentialverteilung verwenden mit [mm] $\lambda=ETTF$ [/mm] bzw. [mm] $\lambda=MTTR$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 06.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Hinweis, das eine Maschine zwei Zustände (up, down) haben kann und bestimmte Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen bestehen, führt zu den Markovketten.
Ist [mm] P_1 [/mm] der Zustand "Die Maschine ist in Ordnung (up)" und [mm] P_2 [/mm] der Zustand "Die Maschine ist nicht in Ordnung (down)", dann gibt es zwischen diesen beiden Zuständen Übergänge, entsprechend den Up und Down Zeiten die durch die MTTF und MTTR definiert sind.
Die Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechen den Ausfall- bzw. Reparaturraten.
[mm] \lambda=\bruch{1}{MTTF} [/mm] entspricht der Ausfallrate und
[mm] \mu=\bruch{1}{MTTR} [/mm] der Reparaturrate
Die Übergangswahrscheinlichkeit von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] entspricht also [mm] \lambda [/mm] und die Übergangswahrscheinlichkeit von [mm] P_2 [/mm] nach [mm] P_1 [/mm] entsprich [mm] \mu.
[/mm]
Damit kommt man auf folgende Dgl. (entsprechend der Markovtheorie)
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{P_1 \\ P_2}=\pmat{ -\lambda & \mu \\ \lambda & \mu }*\vektor{P_1 \\ P_2} [/mm] wobei noch gilt [mm] P_1+P_2=1
[/mm]
Nimmt man die erste Gleichung und die Zusatzbedingung folgt
[mm] \dot P_1=-\lambda*P_1+\mu*P_2 [/mm] und [mm] P_1+P_2=1
[/mm]
Diese Gleichungen haben die allg. Lösung
[mm] P_1(t)=\alpha+\beta*e^{-\gamma*t} [/mm] mit
[mm] \alpha=\bruch{\mu}{\lambda+\mu}
[/mm]
[mm] \beta=\bruch{\lambda}{\lambda+\mu}
[/mm]
[mm] \gamma=\lambda+\mu
[/mm]
Also gilt [mm] P_1(t)=\bruch{\mu}{\lambda+\mu}+\bruch{\lambda}{\lambda+\mu}*e^{-(\lambda+\mu)*t} [/mm] oder
[mm] P_1(t)=\bruch{MTTF}{MTTR+MTTF}+\bruch{MTTR}{MTTR+MTTF}*e^{-\left(\bruch{1}{MTTR}+\bruch{1}{MTTF}\right)*t}
[/mm]
Damit hat man also die zeitabhängige Überlebenswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der MTTF und MTTR berechnet.
mfg ullim
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