Zusammensetzung v. lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Seien S: [mm] R^2 \to R^2 [/mm] und T: [mm] R^2 \to R^2 [/mm] die Abbildungen
[mm] S(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}, x_{2} [/mm] - [mm] x_{1})
[/mm]
[mm] T(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] (2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}, 2x_{2})
[/mm]
Bestimme die Abbildungen TS, [mm] T^2, S^{-1}. [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Bei dieser Aufgabe happerts ein bisschen. Muss ich dass irgendwie in Matrizenform bringen? Oder sag ich einfach:
T*S = [mm] (2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}, 2x_{2}) [/mm] * [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}, x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}) [/mm] = [mm] (6x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{2}^2, 4x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}^2
[/mm]
Steh ziemlich auf der Leitung. Bitte dringend um eure Hilfe!! Lg Manuel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 26.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist doch keine normale Multiplikation, sondern das nacheinander ausführen gemeint, oder?
also [mm] $T\circ S(x_1,x_2)=T(S(x_1,x_2))$
[/mm]
und das musst du einfach von innen nach außen berechnen durch einsetzen..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Bin mir ziemlich sicher, dass die Multiplikation gemeint ist, denn eine andere Aufgabe lautet: Bestimme S + 2T! Wie sollte man sonst zb [mm] T^2 [/mm] oder [mm] S^{-1} [/mm] bestimmen? Wieso glaubst du, dass man nicht multiplizieren sollte? Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 26.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Bin mir ziemlich sicher, dass die Multiplikation gemeint
> ist, denn eine andere Aufgabe lautet: Bestimme S + 2T! Wie
> sollte man sonst zb [mm]T^2[/mm] oder [mm]S^{-1}[/mm] bestimmen? Wieso
> glaubst du, dass man nicht multiplizieren sollte? Lg
Multiplikation von Matrizen ist nichts anderes als die Hintereinanderausführung der entsprechenden linearen Abbildungen!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Könntest du mir bitte noch einen Tipp geben, wie ich zB mit der Berechnung von [mm] T^2 [/mm] anfange? Lg
|
|
|
| |
|
> Könntest du mir bitte noch einen Tipp geben, wie ich zB mit
> der Berechnung von [mm]T^2[/mm] anfange? Lg
Hallo,
eine kleine Vorübung:
sei [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=\bruch{3}{4x+1}.
[/mm]
Dann ist [mm] g\circ [/mm] f(x)= [mm] g(f(x))=\bruch{3}{4f(x)+1}=\bruch{3}{4x^2+1}
[/mm]
und [mm] f^2(x)=f\circ f(x)=f(f(x))=f(x^2)=(x^2)^2=4.
[/mm]
Genauso geht es mit Deinen Abbildungen T und S auch, nur daß sie eben auf 2-Tupel angewendet werden.
$ [mm] T(x_{1}, x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] (2x_{1} [/mm] $ - $ [mm] x_{2}, 2x_{2}) [/mm] $, das sagt:
Nimm das Doppelte der ersten Komponente und subtrahiere die zweite. Dann hast Du die erste Komponente des Bildvektors.
Verdoppele die zweite Komponente, das gibt die zweite Komponente des Bildvektors.
[mm] T^2(x,y)=T(T(x,y))=T((2x-y,2y))=(2(2x-y)-(2y),2*(2y))=(...)
[/mm]
[mm] T^2 [/mm] meint sicher [mm] T\circ [/mm] T, für z.B. 2T machst Du (2T)(x)=2T(x), und (S+T)(x) bedeutet S(x)+T(x), und ich teile mit daMenge die Meinung, daß mit TS T [mm] \circ [/mm] S gemeint ist.
Wenn da steht, daß Du die Abbildungen [mm] T^2, [/mm] ... bestimmen sollst, kannst/mußt Du das so machen, wie ich es oben erklärt habe.
Wenn da allerdings steht, daß Du die zu den linearen Abbildungen T und S die dazugehörigen Matrizen suchen sollst, mußt Du natürlich die Marizen [mm] M_T [/mm] und [mm] M_S [/mm] suchen mit [mm] T(\vektor{x \\ y})=M_T\vektor{x \\ y}, [/mm] entsprechend für S.
Die der Abbildung [mm] S\circ [/mm] T zugeordnete Matrix ist dann die Produktmatrix von [mm] M_SM_T.
[/mm]
Wenn Du noch ein bißchen Zeit hast, kannst Du ja [mm] M_T [/mm] und [mm] M_S [/mm] bestimmen.
Die erste Spalte ist das Bild des 1.Einheitsvektors, die zweite das des zweiten.
Wenn Du das hast, kannst Du gucken, ob wirklich T [mm] \circ [/mm] S [mm] \vektor{x \\ y}=M_TM_S\vektor{x \\ y} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung ;)! Lg
|
|
|
|
