Zusammenhängend oder nicht? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Sa 04.03.2017 | | Autor: | Kaidan |
| Aufgabe | | Sei $(Z,d)$ ein metrischer Raum und seien [mm] $X,Y\subsetZ$ [/mm] abgeschlossen. Wir nehmen an, dass [mm] $X\cup [/mm] Y$ und [mm] $X\cap [/mm] Y$ beide zusammenhängend sind. Folgt dann auch, dass $X$ und $Y$ zusammenhängend sind? |
Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht wirklich sicher wie man das am besten beantworten soll. Da ich mit dem Thema der metrischen Räume erst seit einer Woche arbeite fehlt mir hier im allg. ein bisschen das "Gefühl" wie man am besten an solche Aufgaben herangeht.
Ich habe mir mal zu Beginn als Bsp. [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] genommen, einfach weil ich mit dem Raum vertraut bin und mir das ganz ziemlich gut vorstellen kann. Hier würde ich ganz klar sagen, dass $X$ und $Y$ zusammenhängend sind, falls [mm] $X\cup [/mm] Y$ und [mm] $X\cap [/mm] Y$ es auch sind. Vor allem weil der Schnitt zusammenhängend ist, ich meine wenn der Schnitt zusammenhängend ist, dann ist er nicht leer (oder?).
Gilt im Allgemeinen nicht, dass wenn der Schnitt von zwei Mengen nicht leer ist (also [mm] $X\cap Y\neq \emptyset), [/mm] dass sie dann zusammenhängend sind? bzw. folgt das nicht aus der Def. des Zusammenhangs?
Was mich weiter stört ist die Tatsache, dass darauf bestanden wird, dass die Mengen abgeschlossen sind. Wieso?
Als Bsp. [mm] $(0,3)\cap [/mm] (1,4)$ sind offene Mengen, mit nicht leerem Schnitt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zusammenhängend.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/antworten/Zusammenhaengend-oder-nicht]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 05.03.2017 | | Autor: | hippias |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm](Z,d)[/mm] ein metrischer Raum und seien [mm]X,Y\subsetZ[/mm]
> abgeschlossen. Wir nehmen an, dass [mm]X\cup Y[/mm] und [mm]X\cap Y[/mm]
> beide zusammenhängend sind. Folgt dann auch, dass [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> zusammenhängend sind?
> Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht wirklich sicher wie
> man das am besten beantworten soll. Da ich mit dem Thema
> der metrischen Räume erst seit einer Woche arbeite fehlt
> mir hier im allg. ein bisschen das "Gefühl" wie man am
> besten an solche Aufgaben herangeht.
>
> Ich habe mir mal zu Beginn als Bsp. [mm]\mathbb{R}^2[/mm] genommen,
> einfach weil ich mit dem Raum vertraut bin und mir das ganz
> ziemlich gut vorstellen kann. Hier würde ich ganz klar
> sagen, dass [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] zusammenhängend sind, falls [mm]X\cup Y[/mm]
> und [mm]X\cap Y[/mm] es auch sind. Vor allem weil der Schnitt
> zusammenhängend ist, ich meine wenn der Schnitt
> zusammenhängend ist, dann ist er nicht leer (oder?).
Diese Frage beantwortest Du selber, indem Du überprüfst, ob die Voraussetzungen aus der Definition erfüllt sind.
Nur weil zwei abgeschlossene Mengen nicht leeren oder zuammenhängenden Durchschnitt haben, sind sie noch lange nicht zusammenhängend.
>
> Gilt im Allgemeinen nicht, dass wenn der Schnitt von zwei
> Mengen nicht leer ist (also [mm]$X\cap Y\neq \emptyset),[/mm] dass
> sie dann zusammenhängend sind? bzw. folgt das nicht aus
> der Def. des Zusammenhangs?
S.o. bzw. teile die Definition mit und frage, welche Vorausstzung zu prüfen Dir schwer fällt.
>
> Was mich weiter stört ist die Tatsache, dass darauf
> bestanden wird, dass die Mengen abgeschlossen sind. Wieso?
> Als Bsp. [mm](0,3)\cap (1,4)[/mm] sind offene Mengen, mit nicht
> leerem Schnitt [mm]\Rightarrow[/mm] zusammenhängend.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.onlinemathe.de/forum/antworten/Zusammenhaengend-oder-nicht]
|
|
|
| |
|
...
> Was mich weiter stört ist die Tatsache, dass darauf
> bestanden wird, dass die Mengen abgeschlossen sind. Wieso?
> Als Bsp. [mm](0,3)\cap (1,4)[/mm] sind offene Mengen, mit nicht
> leerem Schnitt [mm]\Rightarrow[/mm] zusammenhängend.
Wenn die Mengen nicht abgeschlossen sein müssen, ist die Antwort leicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Bild siehst du die Menge X (hellblau und weiß) mit den Rändern [mm] R_1, R_3 [/mm] und [mm] R_4. [/mm] Sie ist Abgeschlossen (enthält ihren Rand/ihre Ränder), aber nicht zusammenhängend. Die Menge Y (rot und weiß) enthält den Rand [mm] R_2, R_5 [/mm] und [mm] R_6, [/mm] aber nicht [mm] R_4, [/mm] ist also nicht abgeschlossen.
Das ganze Gebilde, also X [mm] \cup [/mm] Y, ist zusammenhängend und abgeschlossen. X [mm] \cap [/mm] Y besteht nur aus der weißen Fläche und den Rändern [mm] R_2 [/mm] und [mm] R_3, [/mm] ist also auch zusammenhängend und abgeschlossen. X ist aber nicht zusammenhängend. Damit hätten wir ein Gegenbeispiel.
Tatsächlich muss Y aber auch abgeschlossen sein, deshalb gehört der Rand [mm] R_4 [/mm] mit zu X [mm] \cap [/mm] Y, und X [mm] \cap [/mm] Y ist nicht zusammenhängend. Damit ist das ganze Bild kein Gegenbeispiel, weil es die Voraussetzung nicht erfüllt.
Um bei deinen Intervallen zu bleiben:
X = [1|3] [mm] \cup [/mm] [4|5] abgeschlossen,
Y = [2|4[ nicht abgeschlossen,
X [mm] \cup [/mm] Y = [1|5] zusammenhängend,
X [mm] \cap [/mm] Y = [2|3] zusammenhängend,
aber X nicht zusammenhängend.
X = [1|3] [mm] \cup [/mm] [4|5] abgeschlossen,
Y = [2|4] stattdessen abgeschlossen,
X [mm] \cup [/mm] Y = [1|5] zusammenhängend,
X [mm] \cap [/mm] Y = [2|3] [mm] \cup [/mm] {4} NICHT zusammenhängend,
somit kein Gegenbeispiel.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
