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| Aufgabe | Die ZV X sei auf [mm] \{-2,0,2\} [/mm] gleichverteilt. Die ZV Y sei unabhängig von X und bernoulli-verteilt mit Erfolgsparamter p=0,5. Es sei Z=X*Y
a) Man bestimme die Verteilung von Z, d.h. geben Sie den Wertebereich und die Wahrscheinlichkeitsfkt. an!
b) Bestimmen Sie den EW von Z.
c) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X, gegeben Z=0, d.h. geben Sie den Wertebereich und die W-fkt. an.
d) Bestimmen sie die Cov(X,Z). |
Hi,
bei dieser Aufgabe brauche ich bisschen hilfe. Komme da nicht so ganz mit zurecht. Fangen wir erstmal mit a) an.
Also X ist auf [mm] \{-2,0,2\} [/mm] gleichverteilt, also gilt darauf [mm] p(w)=\bruch{1}{3} \forall [/mm] w [mm] \in \Omega.
[/mm]
So Y ist jetzt bernoulli-verteilt. für die bernoulli-verteilung gilt ja eigentlicht:
P(X=1)=p und P(X=0)=1-p, so wir haben jetzt p=0,5. Dann müsste es bei uns ja so aussehen:
P(Y=1)=0,5 und P(Y=0)=0,5
So, wie gebe ich jetzt aber die zusammengesetze Verteilung von X*Y=Z an? Das weiß ich gerade nicht.
Vielleicht hat ja jemand Tipps.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> So, wie gebe ich jetzt aber die zusammengesetze Verteilung
> von X*Y=Z an? Das weiß ich gerade nicht.
Welche Werte kann denn Z annehmen?
Und was sind dann ihre Wahrscheinlichkeiten?
Nachdem X nur 3 und Y 2 verschiedene Werte annehmen können, kann Z ja maximal 2*3=6 verschiedene haben. Die klapperst Du jetzt ab.
ciao
Stefan
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Hi
> Welche Werte kann denn Z annehmen?
> Und was sind dann ihre Wahrscheinlichkeiten?
> Nachdem X nur 3 und Y 2 verschiedene Werte annehmen können, kann Z ja maximal 2*3=6 verschiedene haben. Die klapperst Du jetzt ab.
D.h. ich habe hier sowas: [-2,0,2]x[0,1]=[-2,02]
D.h. doch, der Wertebereich von Z ist [mm] \{-2,0,2\} [/mm] richtig?? Und dann die Einzelnen W.
[mm] P(Z=XY)=P(Z=-2)=P(Z=0)=P(Z=2)=\bruch{1}{3}\bruch{1}{2}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Haut das so hin???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Hi
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> > Welche Werte kann denn Z annehmen?
> > Und was sind dann ihre Wahrscheinlichkeiten?
> > Nachdem X nur 3 und Y 2 verschiedene Werte annehmen
> können, kann Z ja maximal 2*3=6 verschiedene haben. Die
> klapperst Du jetzt ab.
>
> D.h. ich habe hier sowas: [-2,0,2]x[0,1]=[-2,02]
>
> D.h. doch, der Wertebereich von Z ist [mm]\{-2,0,2\}[/mm] richtig??
> Und dann die Einzelnen W.
>
> [mm]P(Z=XY)=P(Z=-2)=P(Z=0)=P(Z=2)=\bruch{1}{3}\bruch{1}{2}=\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Haut das so hin???
Nein. Deine drei Fälle addieren sich zu Wkeit 1/2.
P(Z=XY)=P(Z=-2)=...
Bitte?! Z=XY nach Definition, also gilt P(Z=XY)=1, was sollte mir P(Z=XY)=1/6 auch sagen wollen?
Und wie kommst Du bitte auf P(Z=0)=1/6?
Z=XY=0, für X=0 *oder* Y =0
0 mal irgendwas ist 0.
P(Z=0)=P(XY=0)=P(X=0 und/oder Y=0)=...
Und das führst Du jetzt sauber weiter. Du weißt ja sogar schon, was rauskommen muß, weil
P(Z=2) = P(X=2, Y=1) = P(X=2)P(Y=1) = 1/6 = P(Z=-2)
stimmt.
Ich wiederhole mich gerne:
Hör auf so hoffnungslos zu schlampen. Schau Dir mal an, was genau Du da eigentlich zu Papier bringst. Bei der Geschwindigkeit, mit der Du hier neue Fragen reinstellst, weiß ich, daß Du das nicht tust.
ciao
Stefan
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Hi, ok danke dir. die a) und b) habe ich jetzt hinbekommen.
versuchen wir die c) mal:
> c) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X, gegeben Z=0, d.h. geben Sie den Wertebereich und die W-fkt. an.
d.h. es gilt [mm] P(X=x_i|Z=0) \forall x_i \in \{-2,0,2 \} [/mm] zu bestimmen. Die W-fkt. ist in diesem Fall:
[mm] P(X=x_i|Z=0) =\bruch{P(X=x_i,Z=0)}{P(Z=0)}
[/mm]
so jetzt weiß ich gerade nicht, wie ich jetzt hier weitermache.
setze ich für [mm] x_i=0 [/mm] mal ein, bekomme ich:
P(X=0|Z=0) [mm] =\bruch{P(X=0,Z=0)}{P(Z=0)}=\bruch{P(X=0)}{P(Z=0)}=\bruch{1}{2}, [/mm] stimmt doch so, oder??
aber wie mache ich es mit -2 und 2?? so vielleicht:
P(X=-2|Z=0) [mm] =\bruch{P(X=-2,Z=0)}{P(Z=0)}=\bruch{P(\{\})}{P(Z=0)}=0=
[/mm]
P(X=2|Z=0)???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Hi, ok danke dir. die a) und b) habe ich jetzt
> hinbekommen.
>
> versuchen wir die c) mal:
>
> > c) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X, gegeben
> Z=0, d.h. geben Sie den Wertebereich und die W-fkt. an.
>
> d.h. es gilt [mm]P(X=x_i|Z=0) \forall x_i \in \{-2,0,2 \}[/mm] zu
> bestimmen. Die W-fkt. ist in diesem Fall:
>
> [mm]P(X=x_i|Z=0) =\bruch{P(X=x_i,Z=0)}{P(Z=0)}[/mm]
>
> so jetzt weiß ich gerade nicht, wie ich jetzt hier
> weitermache.
Dein Weg ist trotzdem richtig =)
> stimmt doch so, oder??
ja.
> aber wie mache ich es mit -2 und 2?? so vielleicht:
>
> P(X=-2|Z=0)
> [mm]=\bruch{P(X=-2,Z=0)}{P(Z=0)}=[/mm]
[mm] $=\frac{P(X=-2,XY=0)}{P(Z=0)}=\frac{P(X=-2,Y=0)}{P(Z=0)}$
[/mm]
Wenn X nicht 0 ist, muß es Y sein, sonst wäre Z nicht 0.
ciao
Stefan
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Hi danke nochmal,
dann bleibt jetzt nur noch der letzte Teil, wo ich an einer stelle nicht weiter weiß :-/.
> d) Bestimmen sie die Cov(X,Z).
Die Kovarianz bestimmt man ja nach Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)
So, E(X)E(Z) stellt kein Problem dar. Aber wie kann ich jetzt E(XZ) bestimmen?? da komme ich jetzt leider gerae nicht weiter...
Danke für hilfe schon mal.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 So 11.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> > d) Bestimmen sie die Cov(X,Z).
>
> Die Kovarianz bestimmt man ja nach Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)
>
> So, E(X)E(Z) stellt kein Problem dar. Aber wie kann ich
> jetzt E(XZ) bestimmen?? da komme ich jetzt leider gerae
Welche Werte kann XZ annehmen? Welche Wahrscheinlichkeiten haben die einzelnen Werte?
Wenn Du das weißt, dann folgt der Erwartungswert mit der normalen Summe.
XZ=X^2Y, also gibt es ja nur 2 mögliche Werte, nämlich 4 und 0. Wie wahrscheinlich sind die beiden?
ciao
Stefan
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hi stefan, danke für deinen beitrag.
bei der rechnung stoße ich leider auf ein problem:
für die ZV X,Z gilt: Cov(X,z)=E(XZ)-E(X)E(Z)
E(X)E(Z)=E(X)*0=0 und dann:
XZ können nur die Werte 0 und 4 annehmen:
[mm] P(XZ=4)=P(X^2Y=4)=P(X^2=2,Y=1)+P(X^2=-2,Y=1)=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
ist das so richtig?? bin mir nämlich nicht ganz so sicher, ob dann die W von [mm] P(X^2=-2)=P(X^2=2)=1/3 [/mm] bleibt.
Und dann weiter:
[mm] P(XZ=0)=P(X^2Y=0)=P(X^2=0,Y=1)+P(X^2=-2,Y=0)+P(X^2=2,Y=0)+P(X^2=0,Y=0)=\bruch{2}{3}
[/mm]
Dann wäre [mm] E(XZ)=0*\bruch{2}{3}+4*\bruch{1}{3}
[/mm]
=> [mm] Cov(X,Z)=\bruch{4}{3}
[/mm]
ist das so richtig??
Grüße
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Hallo!
> bei der rechnung stoße ich leider auf ein problem:
>
> für die ZV X,Z gilt: Cov(X,z)=E(XZ)-E(X)E(Z)
>
> E(X)E(Z)=E(X)*0=0 und dann:
>
> XZ können nur die Werte 0 und 4 annehmen:
>
> [mm]P(XZ=4)=P(X^2Y=4)=P(X^2=2,Y=1)+P(X^2=-2,Y=1)=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> ist das so richtig?? bin mir nämlich nicht ganz so sicher,
> ob dann die W von [mm]P(X^2=-2)=P(X^2=2)=1/3[/mm] bleibt.
Außer der Notation ist alles richtig 
Ersetze deine [mm] X^{2} [/mm] an den entsprechenden Stellen durch X !
> Und dann weiter:
>
> [mm]P(XZ=0)=P(X^2Y=0)=P(X^2=0,Y=1)+P(X^2=-2,Y=0)+P(X^2=2,Y=0)+P(X^2=0,Y=0)=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Dann wäre [mm]E(XZ)=0*\bruch{2}{3}+4*\bruch{1}{3}[/mm]
Hier ist wieder nur die [mm] X^{2} [/mm] - Geschichte zu bemängeln.
> => [mm]Cov(X,Z)=\bruch{4}{3}[/mm]
>
> ist das so richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 11.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
ok,
danke euch.
grüße
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hi,
mir ist nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe eingefallen. Stefan hatte ja geschrieben:
> Welche Werte kann XZ annehmen? Welche Wahrscheinlichkeiten haben die einzelnen Werte?
> Wenn Du das weißt, dann folgt der Erwartungswert mit der normalen Summe.
> XZ=X^2Y, also gibt es ja nur 2 mögliche Werte, nämlich 4 und 0. Wie wahrscheinlich sind die beiden?
Was ist aber, wenn ich nicht XZ=X^2Y betrachte, sondern wirklich XZ?? Denn dann komme ich auf die Werte -4,4 und 0: X=[-2,0,2]x[-2,0,2]=Z => XZ=[-4,0,4]
Woher weiß man jedoch, dass man -4 nicht betrachten muss?? Weil würde ich das so berechnen, komme ich bei der Kovarianz auch auf 0 und nicht 4/3,
[mm] P(XZ=-4)=P(XZ=4)=\bruch{1}{9} [/mm] und [mm] P(XZ=0)=\bruch{7}{9}
[/mm]
woran liegt das? Danke für erklärungen schon mal.
Grüße
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Hallo!
> hi,
>
> mir ist nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe eingefallen.
> Stefan hatte ja geschrieben:
>
> > Welche Werte kann XZ annehmen? Welche Wahrscheinlichkeiten
> haben die einzelnen Werte?
> > Wenn Du das weißt, dann folgt der Erwartungswert mit
> der normalen Summe.
>
> > XZ=X^2Y, also gibt es ja nur 2 mögliche Werte, nämlich 4
> und 0. Wie wahrscheinlich sind die beiden?
>
> Was ist aber, wenn ich nicht XZ=X^2Y betrachte, sondern
> wirklich XZ?? Denn dann komme ich auf die Werte -4,4 und 0:
> X=[-2,0,2]x[-2,0,2]=Z => XZ=[-4,0,4]
Achtung!
Du machst hier den Fehler, anzunehmen, dass X zwei verschiedene Werte annehmen kann, wenn es zweimal in der Formel vorkommt!
Der Fall -4 kann nicht eintreten, denn dafür müsste gelten:
X = 2 und Z = -2
Z = -2 bedeutet aber X*Y = -2, d.h. X = -2.
Damit wäre in der Formel X gleichzeitig -2 und 2.
Grüße,
Stefan
PS.: Es muss natürlich nicht "X = 2 und Z = -2" gelten, es kann auch "X = -2 und Z = 2" sein - führt aber zum selben Widerspruch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mo 12.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
ohhh ja.
mal wieder super vielen dank für die erläuterung.
grüße
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