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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mo 26.06.2006 | | Autor: | p.casso |
| Aufgabe 1 | 1. R = [mm] \{(x,y) \in \IR²: y = x²\},
[/mm]
2. S = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x + y \le 1 \}
[/mm]
3. Es gilt
4. S [mm] \circ [/mm] R = [mm] \{(x,y) \in \IR²: es existiert ein z \in \IR mit z = x² \wedge z + y \le 1 \},
[/mm]
5. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x² + y \le 1\}
[/mm]
6. Ferner ist
7. R [mm] \circ [/mm] S = [mm] \{(x,y) \in \IR²: es existiert ein z \in \IR mit x + z \le 1 \wedge y = z² \}
[/mm]
8. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: y \ge 0 \wedge (x + \wurzel{y} \le 1 \vee x - \wurzel{y} \le 1)\}
[/mm]
9. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: y \ge 0 \wedge (x \le 1 - \wurzel{y} \vee x\le 1 + \wurzel{y} )\}
[/mm]
10. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: y \ge 0 \wedge x \le 1 + \wurzel{y} \}
[/mm]
11. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: (x \le 1 \wedge y \ge 0) \vee (x > 1 \wedge (x-1)² \le y)\}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | 12. R = [mm] \{(x,y) \in \IR²: y = x²\} [/mm] mit
13. [mm] R^{-1} [/mm] = [mm] \{(y,x) \in \IR²: y = x²\}
[/mm]
14. S = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x + y \le 1\} [/mm] = [mm] \{(y,x) \in \IR²: (x +y \le 1)\} [/mm] = [mm] S^{-1}.
[/mm]
15. Dann ist
16. S [mm] \circ [/mm] R = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x² + y \le 1\},
[/mm]
17. (S [mm] \circ R)^{-1} [/mm] = [mm] \{(y,x) \in \IR²: x² + y \le 1\} [/mm] = [mm] R^{-1} \circ S^{-1} [/mm] |
| Aufgabe 3 | 18. Mit [mm] R^{-1} \circ [/mm] R
19. [mm] R^{-1} \circ [/mm] R = [mm] \{(x,y) \in \IR²: existiert ein z \in \IR mit z = x² \wedge z = y²\}
[/mm]
20. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x² = y²\} [/mm] = [mm] (R^{-1} \circ R)^{-1},
[/mm]
21. R [mm] \circ R^{-1} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR²: existiert ein z \in \IR mit x = z² \wedge y = z²\}
[/mm]
22. = [mm] \{(x,y) \in \IR²: x = y\} \not= R^{-1} \circ [/mm] R. |
Hallo zusammen,
ich habe jetzt hier einiges in den Formeleditor gehackt. Ich hoffe Ihr könnt es lesen, die Zwischenräume sind nicht ganz stimmig; ich weiß aber nicht wie sich das verhindern lässt.
Ich bitte Euch bei den drei Aufgaben (eigentlich hängen sie mehr oder weniger zusammen) um Eure Hilfe, einige Gedankengänge sind mir nicht ganz klar. Hoffentlich Euch.
Aufgabe 1
S und R bilden eine zusammengesetzte Relation. Somit wird in R das y durch z ersetzt und in S das x. Dadurch baue ich die "Schnittstelle" zwischen S und R mit Hilfe von z. Herauskommt als Schnittstellengleichung" Zeile 5. Oder?
Was ich nicht verstehe ist, warum bilde ich bei R das y zu z um? Es heißt doch S o R. Warum bilde ich nicht in S das y zu z und schaffe somit meine Schnittstelle nach R indem ich in R x zu z umbaue? So steht es doch da, S o R?! S an erster Stelle, R an zweiter Stelle.
Mir ist unter den gegeben Umständen aber klar wie Zeile 7. zustande kommt. Aber wieso ist ab Zeile 8. y immer größergleich 0? dadurch das y = z² ist? Also folglich immer positiv?
Die Aufspaltung des Quadrats in Zeile 8. und 9. ist mir auch klar, aber warum fehlt in Zeile 10. x [mm] \le [/mm] 1- [mm] \wurzel{y}? [/mm] Liegt es daran, dass es kleiner ist als x [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{y} [/mm] und es somit obsolet wird? - Dies weil ich ja einen immer größeren Wert durch x [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{y} [/mm] bestimmt habe?
Aufgabe 2
Hat sich geklärt, vielleicht ist sie aber wichtig für den Zusammenhang, ich lass sie mal stehen.
Aufgabe 3
Zeile 19. Ich nehme R als erstes, tausche das y gegen gegen z und nehme nun [mm] R^{-1} [/mm] und tausche was??
Warum überhaupt? Ich habe doch (x,y) in R und (y,x) in [mm] R^{-1}. [/mm] Somit ist doch schon eine "Schnittstelle" vorhanden???
Keine Ahnung wie das bis Zeile 22 zustande kommt.
Ich verstehe wohl das ganze Thema komplett falsch.
FAZIT
So das war´s jetzt. Ich hoffe jemand kann mir an der ein oder anderen Stelle einen Tipp geben und ich habe nicht zuviele Fehler gebaut. Für Eure Mühe möchte ich mich schon im Voraus ganz herzlich bedanken.
Gruß p.casso
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin und hallo,
zur ersten Frage: Du definierst das [mm] S\circ [/mm] R so, damit Du bei Funktionen f und g schreiben kannst:
[mm] (f\circ [/mm] g)(x)=f(g(x)).
[mm] y\geq [/mm] 0 kommt genau aus dem von Dir vermuteten Grund zustande: es ist eine Quadratzahl.
Warum fehlt dann die Bed. [mm] x\leq 1-\sqrt{y} [/mm] ?
Weil sie verodert war mit [mm] x\leq 1+\sqrt{y}, [/mm] und das ''Oder'' dieser beiden Bedingungen, von denen die eine die andere impliziert, ist halt nun mal
die andere, also die, die übrig bleibt.
Zur 3:
es ist ja [mm] R=\{(x,y)|y=x^2\}
[/mm]
[mm] R^{-1} =\{(y,z)|y=z^2\}
[/mm]
[mm] R^{-1}\circ [/mm] R [mm] =\{(x,z)|\exists y \:\: (\: y=z^2\:\: \wedge\:\: y=x^2)\}=\{(x,z)\: |\: \:\: x^2=z^2\}
[/mm]
[mm] R\circ R^{-1}=\{(x,z)|\exists y \:\: x=y^2\:\: \wedge\:\: z=y^2\}=\{(y^2,y^2)|\: y\in\IR\}
[/mm]
Gruss,
Mathias
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