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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 So 01.05.2005 | | Autor: | neuhier |
Völlig verzeifelt wende ich mich an euch:
Ich soll zeigen, dass der Raum der auf [a,b] komplexwertig stetigen Funktionen E=C[a,b] mit der Maximumsnorm ||f||=max|f(t)| vollständig ist.
"Übersetzt" heißt das ja, dass in diesem Raum jede Cauchyfolge [mm] {X_{n}} [/mm] konvergiert, also:
F.alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ex. [mm] n(\varepsilon) [/mm] so dass für alle n,m [mm] \ge n(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] d(X_{n},X_{m})<\varepsilon.
[/mm]
Daraus soll nun folgen
Es ex. [mm] x\in [/mm] E mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}d(X_{n},x)=0.
[/mm]
Und genau da fehlt mir die zündende Beweisidee. Alle Versuche durch Abschätzungen bzw. indirekte Ansätze scheiterten oder endeten in trivialen Aussagen.
So habe ich mit [mm] 0\le d(X_{n},X) \le d(X_{n},X_{m})+d(X_{m},X) \le d(X_{n},X_{m})<\varepsilon [/mm] versucht eine Beziehung zwischen [mm] d(X_{n},X_{m}) [/mm] und [mm] d(X_{n},x) [/mm] herzustellen, aber da häng ich dann auch fest.
Ich komme einfach nicht drauf, wie ich aus dem "kleinen Abstand" der Folgenglieder mit Hilfe der Norm auf die Existenz des Grenzwertes schließen kann.
Dementsprechend händeringend flehe ich geradezu um einen Ansatz :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo neuhier!
Ist [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in $C([a,b], [mm] \Vert \cdot \Vert_{\infty})$, [/mm] so kannst du zunächst einmal zeigen, dass dann für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$ [mm] $(f_n(t))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $\IC$ [/mm] ist, die wegen der Vollständigkeit von [mm] $\IC$ [/mm] gegen konvergiert.
Definiere nun für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$:
$f(t):= [mm] \lim\limits_{n \to \infty} f_n(t)$.
[/mm]
Jetzt musst du "nur noch" zeigen, dass $f$ stetig ist und dann [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in der Supremumsnorm gegen $f$ konvergiert.
Versuchst du das bitte mal? 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 02.05.2005 | | Autor: | neuhier |
Ok, ich werd mal die Schritte aus meiner Sicht wiedergeben. Bitte sag mir, ob ich das richtig verstanden hab:
Zunächst schließt du von der Cauchykonvergenz in C[a,b] auf Cauchykonvergenz im "größeren" Raum [mm] \IC.
[/mm]
Wenn [mm] f_{n} [/mm] konvergiert, dann auch [mm] f_{n}(t).
[/mm]
Da [mm] \IC [/mm] vollständig is, ex. der Grenzwert in [mm] \IC, [/mm] der als f(t) definiert wird.
Zurück in C[a,b] folgt aus der Stetigkeit aller [mm] f_{n}(t) [/mm] die Stetigkeit der Grenzfunktion (?), die damit Element des C[a,b] ist.
Und dann der Beweis, dass mit dieser Norm dann [mm] f_{n}(t) [/mm] auch wirklich gegen f konvergiert.
So in etwa richtig?
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Du sollst zeigen, dass $C([a,b])$ versehen mit der Supremumsnorm vollständig ist.
Sei also [mm] $f_n\in [/mm] C([a,b])$ eine Cauchyfolge in $C([a,b]), [mm] \|\cdot\|_\infty$. [/mm]
Also Kandidat nimmt man das $f$, das ddurch [mm] $f(t)=\lim_{n\to\infto} f_n(t)$ [/mm] definiert ist. Da [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] vollständig ist, existiert der Grenzwert.
a) Du musst noch zeigen, dass $f$ stetig ist. Das ist ein bekannter Satz ...
b) Dass [mm] $\|f_n-f\|_\infty\to [/mm] 0$ geht müsste man mit einem [mm] $\epsilon/2$ [/mm] oder [mm] $\epsilon/3$-Argument [/mm] zeigen können.
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