Zum Thema Dreieck < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:33 Mo 20.03.2006 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | | Gegeben wird ein Dreieck mit den Seiten a,b,c. mit den entsprechenden Winkeln [mm] \alpha [/mm] = 40°, [mm] \beta [/mm] = 60° und [mm] \gamma [/mm] =80°. Beweise, dass [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{b+c}{a+b+c} [/mm] gelten muss. |
Wer Lust und Zeit hat kann sich diese Aufgabe mal zu Herzen nehmen und mir vielleicht anschliessend verraten, wie er oder sie es gemacht hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 25.04.2006 | | Autor: | DirkG |
Die Winkelhalbierende von [mm] $\angle [/mm] ACB$ schneide $AB$ in $D$, sei [mm] $d=\overline{CD}$. [/mm] Die Winkelhalbierende von [mm] $\angle [/mm] ACD$ schneide $AB$ in $E$, und schließlich die Winkelhalbierende von [mm] $\angle [/mm] BCD$ schneide $AB$ in $F$, sei [mm] $f=\overline{BF}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $ABC\sim [/mm] CBD$, es folgt
[mm] $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} [/mm] = [mm] \frac{\overline{CD}}{\overline{BC}},\quad\text{also}\quad d=\frac{ab}{c} [/mm] .$$
Das Dreieck $EBC$ ist gleichseitig, demnach ist [mm] $\overline{BE}=\overline{BC}=a$. [/mm] Da die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt, folgt im Dreieck $ADC$ mit Winkelhalbierender $CE$:
[mm] $$\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}} [/mm] = [mm] \frac{\overline{AE}}{\overline{DE}},\quad\text{also}\quad \frac{b}{d}=\frac{c-a}{d-(c-a)} [/mm] .$$
[mm] $d=\frac{ab}{c}$ [/mm] eingesetzt folgt [mm] $c^2=a(a+b)$.
[/mm]
Die Strecken $CD$ und $CF$ dritteln den [mm] $60^{\circ}$-Winkel [/mm] bei $C$ im gleichseitigen Dreieck $EBC$, also gilt auch [mm] $f=\overline{BF}=\overline{ED}=d-(c-a)=\frac{ab}{c}-(c-a)$.
[/mm]
Schließlich und endlich ist auch [mm] $ABC\sim [/mm] ACF$, es folgt
[mm] $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} [/mm] = [mm] \frac{\overline{AF}}{\overline{AC}},\quad\text{also}\quad \frac{b}{c}=\frac{c-f}{b} [/mm] .$$
Mit $bc$ multipliziert und $f$ eingesetzt ergibt sich $0 = [mm] c^2-(ab-c(c-a))-b^2 [/mm] = [mm] 2c^2-ab-ac-b^2$. [/mm] Diese Gleichung mit $(c+a)$ multipliziert und [mm] $0=(a(a+b)-c^2)(b+2c)$ [/mm] addiert ergibt sich
$$0 = [mm] (2c^2-ab-ac-b^2)(c+a)+(a(a+b)-c^2)(b+2c) [/mm] = c(a(a+b+c)-b(b+c)) .$$
Daraus folgt die Behauptung. Ist nicht gerade kurz und elegant - wer daran Spaß hat, kann's ja vereinfachen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
