Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:04 Mi 02.06.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Es seien a; b; [mm] \in \IR [/mm] mit a < b, [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und es seien X, Y Zufallsvariable auf einem
W-Raum mit P(a [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b) [mm] \ge [/mm] 0,98 und P(|Y| [mm] \ge \varepsilon) \le [/mm] 0,01
Man zeige: P(a - [mm] \varepsilon [/mm] < X - Y < b + [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 0,97. |
hi zusammen,
also schonmal vorab ich versteh die aufgabe garnicht und in meinem lehrbuch hab ich sowas ähnliches auch nicht gefunden. hat jemand ne ahnung wie ich an die aufgabe rangehen muss ?
grüße
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mi 02.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Es seien a; b; [mm]\in \IR[/mm] mit a < b, [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und es
> seien X, Y Zufallsvariable auf einem
> W-Raum mit P(a [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] b) [mm]\ge[/mm] 0,98 und P(|Y| [mm]\ge \varepsilon) \le[/mm]
> 0,01
> Man zeige: P(a - [mm]\varepsilon[/mm] < X - Y < b + [mm]\varepsilon[/mm] )
> [mm]\ge[/mm] 0,97.
> hi zusammen,
>
> also schonmal vorab ich versteh die aufgabe garnicht
Da kann ich vielleicht helfen.
Eine Zufallsvariable X liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 zwischen den reellen Zahlen a und b.
Die Zufallsvariable Y liegt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal 0,01 außerhalb des Intervalls [mm] -\epsilon [/mm] bis [mm] +\epsilon [/mm] (Y liegt also mit mindestens 0,99 innerhalb dieses Intervalls.
In den 98% der Fälle, in denen X zwischen a und b liegt, kann X-Y also mit weniger als 1% unterhalb von [mm] a-\epsilon [/mm] bzw. oberhalb von [mm] b+\epsilon [/mm] liegen.
Gruß Abakus
> und in
> meinem lehrbuch hab ich sowas ähnliches auch nicht
> gefunden. hat jemand ne ahnung wie ich an die aufgabe
> rangehen muss ?
>
> grüße
>
> meep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Mi 02.06.2010 | | Autor: | meep |
erstmal danke abakus für die erklärung, das hab ich nun verstanden.
ich weiß nur nicht wie ich das mathematisch zeigen soll ... gibts da nicht irgendwelche vorangehensweisen für so ne art von problem ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mi 02.06.2010 | | Autor: | gfm |
> erstmal danke abakus für die erklärung, das hab ich nun
> verstanden.
>
> ich weiß nur nicht wie ich das mathematisch zeigen soll
> ... gibts da nicht irgendwelche vorangehensweisen für so
> ne art von problem ?
Mit [mm]A:=\{a\le X\le b\}[/mm], [mm]B:=\{|Y|\ge \epsilon\}[/mm] und [mm]C:=\{a-\epsilon\le X-Y\le b+\epsilon\}[/mm] gilt [mm]A\backslash B\subseteq C[/mm]. Außerdem gilt allgemein [mm]B+A\backslash B=A+B\backslash A[/mm] (+ soll hier für disjunkte Vereinigung stehen), woraus [mm]P(A)-P(B)\le P(A\backslash B)[/mm] folgt. Damit erhält man [mm]P(C)\ge P(A\backslash B) \ge P(A)-P(B) \ge 0.98-0.01=0.97[/mm].
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 02.06.2010 | | Autor: | meep |
vielen dank gfm ich versuch das nun mal nachzuvollziehen
lg
meep
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 02.06.2010 | | Autor: | gfm |
> vielen dank gfm ich versuch das nun mal nachzuvollziehen
>
Ein Ereignis aus [mm]A:=\{a\le X\le b\}[/mm], welches nicht gleichzeitig auch in [mm]B:=\{|Y|\ge \epsilon\}[/mm] (in Zeichen: [mm]A\backslash B[/mm])liegt, ist sicher in [mm]C:=\{a-\epsilon\le X-Y\le b+\epsilon\}[/mm] enthalten. Jedoch trifft das umgekehrt u.U. nicht zu, denn es könnte ja [mm]X
[mm]A\backslash B[/mm] sind ja die Ereinisse aus [mm]A[/mm] vermindert um die aus [mm]A[/mm], die auch in B sind: [mm]A\backslash B=A\backslash(A\cap B)[/mm]. [mm]A\cap B[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]A[/mm]. Deswegen gilt [mm]P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)[/mm].
Andererseits sind [mm]A\cap B[/mm] die Ereignisse aus [mm]B[/mm] vermindert um die Ereignisse aus [mm]B[/mm], die nicht in [mm]A[/mm] sind: [mm]A\cap B=B\backslash (B\backslash A)[/mm]. Da [mm]B\backslash A[/mm] eine Teilmenge von [mm]B[/mm] ist, gilt [mm]P(A\cap B)=P(B)-P(B\backslash A)[/mm].
Alles zusammen ergibt [mm]P(C)\ge P(A\backslash B)=P(A)-(P(B)-P(B\backslash A))=P(A)-P(B)+P(B\backslash A)\ge P(A)-P(B)[/mm].
LG
gfm
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