Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 26.01.2005 | | Autor: | dagmar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein?
[mm] X_n [/mm] : [mm] \Omega \rightarrow \IR [/mm] und X: [mm] \Omega \rightarrow \IR [/mm] seien Zufallsvariablen.
Zu zeigen ist nun: [mm] (X_n) [/mm] konvergiert fast sicher gegen X genau dann, wenn für jedes
[mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] P ( [mm] \sup_{k \ge n} [/mm] | [mm] X_k [/mm] X | > [mm] \epsilon) [/mm] = 0
Gruss, Dagmar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Do 27.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Hallo Dagmar,
in dem Buch "Maß- und Integrationstheorie" von Elstrodt, Springer-Verlag, unter Konvergenzarten findest du auf jeden Fall eine Erklärung/Lösung zu dieser Aufgabe. Der Beweis wird sich aber auch danach richten, wie ihr P-f.s. Konvergenz genau definiert habt. Wenn dir das (und die weiteren Erklärungen, die vielleicht noch gepostet werden) nicht weiterhilft, dann melde dich nochmal.
Gruß
David
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Grüße!
Ich lerne gerade selbst für eine Prüfung in diesem Bereich... mal schauen, ob ich Dir etwas weiterhelfen kann.
Zunächst mal Bezeichnungen:
$E := [mm] \{ \omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty} x_n(\omega) \not= X(\omega) \}$
[/mm]
$E$ ist also die Menge der Punkte, an denen die Folge nicht konvergiert. Man sagt, dass die Folge P-f.s. gegen $X$ konvergiert, falls $E$ die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
Zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $E_{n,\varepsilon} [/mm] := [mm] \{ \omega \in \Omega : \sup_{k \geq n} | X_k(\omega) - X(\omega) | > \varepsilon \}$
[/mm]
Für die eine Richtung nimm nun an, dass $E$ das Maß 0 hat und zeige, dass [mm] $P(E_{n, \varepsilon})$ [/mm] für $n$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gegen 0 konvergiert. Dazu überleg Dir, was die [mm] $E_{n, \varepsilon}$ [/mm] für wachsendes $n$ für eine Folge bilden (aufsteigend? Absteigend?) und benutze die Eigenschaft des Maßes.
Für die Rückrichtung überlegst Du Dir einfach, was für [mm] $E_{\varepsilon} [/mm] := [mm] \bigcap_{n=1}^\infty E_{n, \varepsilon}$ [/mm] und verschiedene Wahlen von [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt - wie liegen die Mengen ineinander, wenn Du eine absteigende Folge von Epsilons wählst? Und was haben diese mit dem $E$ zu tun?
Viel Erfolg!
Lars
P.S.: Mache Dir auf jeden Fall noch klar, warum die Bedingung aus der Aufgabe NICHT dasselbe ist wie Konvergenz im Maß! Letztere ist nämlich schwächer als fast sichere Konvergenz, aber die Bedingung sieht der aus der Aufgabe sehr ähnlich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Di 01.02.2005 | | Autor: | dagmar |
Leider habe ich den Lösungsversuch nicht verstanden. Mache Mathe nur im Nebenfach und bei diesen Aufgaben verstehe ich fast gar nichts mehr. Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
Danke Dagmar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:31 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dagmar!
Wir definieren uns
[mm] $A=\{\omega \in \Omega\, : \, \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\}$
[/mm]
und müssen zeigen:
[mm] $P(A^c)=0$.
[/mm]
Nun ist aber
$A= [mm] \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ \sup\limits_{m \ge n} |X_m(\omega) -X(\omega)|\le \frac{1}{k} \right\}$,
[/mm]
also:
[mm] $A^c [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ \sup\limits_{m \ge n} |X_m (\omega) - X(\omega)| > \frac{1}{k} \right\}$,
[/mm]
und daher:
[mm] $P(A^c) [/mm] = [mm] \sup\limits_{k \in \IN} \inf\limits_{n \in \IN} P\left( \left\{ \sup\limits_{m \ge n} |X_m (\omega) - X(\omega)| > \frac{1}{k} \right\} \right) [/mm] = 0$,
nach Voraussetzung.
Ich kann mir vorstellen, dass das sehr schwierig für dich ist. Man kann diese technischen Dinge im Forum aber nicht so ausführlich erklären, so etwas muss man in Ruhe "vor Ort" machen, mit Bleistift und Papier. Du solltest dir unbedingt Präsenznachhilfe bei einem Mathestudenten im Hauptstudium/Diplom-Mathematiker nehmen, sonst wirst du das vermutlich nicht verstehen.
Liebe Grüße
Stefan
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