Zufallsvariable berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Di 14.12.2004 | | Autor: | Ares1982 |
Diese Frage wurde in keinem Forum gestellt!!!!!!!!
Hi@all,
ich habe wieder eine Aufgabe, die iegentlich ncht schwer ist, aber ich muss eines wissen. Zeurst mal die Aufgabe:
Die Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] sollen die Augenzahlen beim Würfeln mit zwei (fairen) Würfeln angeben. Wir setzten Y=1, falls [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] gerade ist, Y=0, falls [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] ungerade ist.
Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen [mm] \{ X_{1}, X_{2} \} [/mm] , [mm] \{ X_{1}, Y \} [/mm] und [mm] \{ X_{2}, Y \} [/mm] sind jeweils unabhängig voneinander, aber die Zufalssvariablen [mm] \{ X_{1}, X_{2},Y \} [/mm] sind nicht unabhängig.
Für die Unabhängigkeit gilt: P(A [mm] \capB)=P(A)*P(B)
[/mm]
Mein Problem ist hier nun die Ereignisse A und B anzugeben.
Beim ersten ( also [mm] \{ X_{1}, X_{2} \}) [/mm] habe ich vermutet, dass das Ereignis A= { [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] ist gerade} und B={ [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] ist ungerade}. Da stimmt die Unabhängigkeit, aber ich bin da bisschen stutzig, da ich beim nicht weiterkomme. Brauche also da eine kleine Hilfe. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt!!!!!!!!!
Danke im vorraus!!!!!!!!
Ares
|
|
| |
|
Hallo Ares!
> Die Zufallsvariablen [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] sollen die
> Augenzahlen beim Würfeln mit zwei (fairen) Würfeln angeben.
> Wir setzten Y=1, falls [mm]X_{1}[/mm] + [mm]X_{2}[/mm] gerade ist, Y=0,
> falls [mm]X_{1}[/mm] + [mm]X_{2}[/mm] ungerade ist.
> Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen [mm]\{ X_{1}, X_{2} \}[/mm] , [mm]\{ X_{1}, Y \}[/mm]
> und [mm]\{ X_{2}, Y \}[/mm] sind jeweils unabhängig voneinander,
> aber die Zufalssvariablen [mm]\{ X_{1}, X_{2},Y \}[/mm] sind nicht
> unabhängig.
>
> Für die Unabhängigkeit gilt: P(A [mm]\capB)=P(A)*P(B)[/mm]
Hier geht es aber nicht um die Unabhängigkeit von Ereignissen, sondern um diejenige von Zufallsvariablen. Laut Definition sind [mm] $X_1,X_2,X_3$ [/mm] unabhängig, falls für ihre Verteilungsfunktionen [mm] $F_{X_1}, F_{X_2}, F_{X_3}$ [/mm] gilt:
[mm]F_{X_1}(x_1)\cdot F_{X_2}(x_2)\cdot F_{X_3}(x_3)=F_{(X_1,X_2,X_3)}(x_1,x_2,x_3),\qquad
\forall x_1,x_2,x_3\in\IR,[/mm]
wobei [mm] $F_{(X_1,X_2,X_3)}$ [/mm] die gemeinsame Verteilungsfunktion bezeichnet.
Für diskrete Zufallsvariablen kann man zeigen, dass dazu äquivalent ist:
[mm]P(X_1=x_1)\cdot P(X_2=x_2)\cdot P(X_3=x_3)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3)[/mm]
für alle [mm] $x_1,x_2,x_3$, [/mm] die von den Zufallsvariablen mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden. Analog geht das auch mit zwei Zufallsvariablen.
Beispiel: Wir betrachten [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$. [/mm] Es gilt
[mm]P(X_1=x_1)=P(X_2=x_2)=\frac{1}{6}[/mm]
für [mm] $x_1\in\{1,\ldots,6\}$ [/mm] bzw. [mm] $x_2\in\{1,\ldots,6\}$. [/mm] Außerdem ist
[mm]P(X_1=x_1,X_2=x_2)=\frac{1}{36}[/mm]
für [mm] $x_1,x_2\in\{1,\ldots,6\}$ [/mm] und deshalb
[mm]P(X_1=x_1,X_2=x_2)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2).[/mm]
Also sind [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] unabhängig.
Weißt Du nun, was weiter zu tun ist?
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
