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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 So 27.09.2015 | | Autor: | Yomu |
| Aufgabe 1 | Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → [mm] \IR [/mm] eine beliebige Zufallsvariable mit stetiger, streng monoton wachsender Verteilungsfunktion [mm] F_{X}: [/mm] R → [0, 1].
Sei ferner U : Ω → [0, 1] eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [0, 1]. Zeigen Sie:
a) Y := [mm] F_{X}^{ -1}(U) [/mm] ist eine R-wertige Zufallsvariable auf (Ω, A, P).
b) [mm] P_{Y} [/mm] = [mm] P_{X}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei r : [mm] \IN [/mm] → [mm] \IQ [/mm] eine bijektive Abbildung. Wir setzen [mm] r_{j}:= [/mm] r(j), j ≥ 1. Zeigen
Sie:
a) Durch F(x) := [mm] 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x) [/mm] x ∈ [mm] \IR
[/mm]
wird eine streng monoton wachsende Verteilungsfunktion definiert. |
Hallo,
Also bei der ersten Aufgabe hab ich nicht so die Idee, es gilt fuer B [mm] \in [/mm] A: [mm] Y^{-1}(B)= \{ \omega \in \Omega | F_{X}^{-1}(U(\omega)) \in B \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega | U(\omega) \in F_{X}(B) \} [/mm] , nur hilft mir das nicht weiter.
Bei der zweiten seh ich die Monotonie aber wieso sollte sie streng monoton sein, es gilt doch fuer x=1 , y=1,5 und alle j [mm] \in \IN [/mm] : x [mm] \in [r_{j}, \infty) \gdw [/mm] y [mm] \in [r_{j}, \infty) [/mm] und somit F(x)=F(y)
rechtsseitig stetig: [mm] \lim_{n \downarrow \infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x) =2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}* \lim_{n \downarrow \infty}1_{[r_{j} ,\infty)}(x) =2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)
[/mm]
weiter:
[mm] \lim_{x \to -\infty}F(x)= \lim_{x \to -\infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*\lim_{x \to -\infty} 1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*0 [/mm] =0
aber es gilt:
[mm] \lim_{x \to \infty}F(x)= \lim_{x \to \infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*\lim_{x \to \infty} 1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}=2*(3/2)=3
[/mm]
was aber bei einer Verteilungsfunktion nicht sein kann.
Hoffentlich kann mir jemad weiterhelfen,
MfG Yomu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 29.09.2015 | | Autor: | wauwau |
> Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω →
> [mm]\IR[/mm] eine beliebige Zufallsvariable mit stetiger, streng
> monoton wachsender Verteilungsfunktion [mm]F_{X}:[/mm] R → [0,
> 1].
> Sei ferner U : Ω → [0, 1] eine gleichverteilte
> Zufallsvariable auf [0, 1]. Zeigen Sie:
> a) Y := [mm]F_{X}^{ -1}(U)[/mm] ist eine R-wertige Zufallsvariable
> auf (Ω, A, P).
> b) [mm]P_{Y}[/mm] = [mm]P_{X}.[/mm]
> Es sei r : [mm]\IN[/mm] → [mm]\IQ[/mm] eine bijektive Abbildung. Wir
> setzen [mm]r_{j}:=[/mm] r(j), j ≥ 1. Zeigen
> Sie:
> a) Durch F(x) := [mm]2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)[/mm]
> x ∈ [mm]\IR[/mm]
das muss mal [mm] $3^{-j} [/mm] heißen!<
> wird eine streng monoton wachsende Verteilungsfunktion
> definiert.
> Hallo,
> Also bei der ersten Aufgabe hab ich nicht so die Idee, es
> gilt fuer B [mm]\in[/mm] A: [mm]Y^{-1}(B)= \{ \omega \in \Omega | F_{X}^{-1}(U(\omega)) \in B \}[/mm]
> = [mm]\{ \omega \in \Omega | U(\omega) \in F_{X}(B) \}[/mm] , nur
> hilft mir das nicht weiter.
>
> Bei der zweiten seh ich die Monotonie aber wieso sollte sie
> streng monoton sein, es gilt doch fuer x=1 , y=1,5 und alle
> j [mm]\in \IN[/mm] : x [mm]\in [r_{j}, \infty) \gdw[/mm] y [mm]\in [r_{j}, \infty)[/mm]
> und somit F(x)=F(y)
r ist eine bijektive Abbildung von [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] d.h die [mm] $r_i$ [/mm] nehmen alle rationalen Werte an!! Daher: für $x<y$ gibt es ein [mm] $r_i$ [/mm] mit $x < [mm] r_i
> rechtsseitig stetig: [mm]\lim_{n \downarrow \infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x) =2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}* \lim_{n \downarrow \infty}1_{[r_{j} ,\infty)}(x) =2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)[/mm]
>
> weiter:
> [mm]\lim_{x \to -\infty}F(x)= \lim_{x \to -\infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*\lim_{x \to -\infty} 1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*0[/mm]
> =0
> aber es gilt:
> [mm]\lim_{x \to \infty}F(x)= \lim_{x \to \infty} 2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}*\lim_{x \to \infty} 1_{[r_{j} ,\infty)}(x)=2*\summe_{i=1}^{\infty}3^{j}=2*(3/2)=3[/mm]
da du von i=1 weg summierst ist die Summe nicht [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] sondern [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> was aber bei einer Verteilungsfunktion nicht sein kann.
>
> Hoffentlich kann mir jemad weiterhelfen,
> MfG Yomu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:09 Di 06.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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