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Forum "Uni-Stochastik" - Zufallsvariable Integral
Zufallsvariable Integral < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zufallsvariable Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 So 03.02.2008
Autor: Corn

Aufgabe
Sei X eine [mm] exp(\alpha) [/mm] verteilte Zufallsvariable
[mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = ?
[mm] \int t^2 dP_x [/mm] = ?

Hallo
Ich soll das berechnen, aber der letzte Schritt fehlt mir noch

[mm] $\int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] *e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_{-\infty}$ [/mm]  

Und wie gehts jetzt weiter?

[mm] $\int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 [/mm] * [mm] e^{-at} [/mm] dt$

$= [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}*(a^2*t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{-\infty}$ [/mm]

Ich glaube, hier sollte eigentlich die Gammaverteilung rauskommen?

Grüße, Corn

        
Bezug
Zufallsvariable Integral: Exponentialverteilung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 So 03.02.2008
Autor: Infinit

Hallo Corn,
was Du mit diesen Gleichungen ausrechnest, sind der Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung. Pass aber bei den Grenzen auf, die Exponentialverteilung ist nur für positive reelle Zahlen definiert, die untere Grenze ist also Null, und nicht minus Unendlich.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
Zufallsvariable Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 So 03.02.2008
Autor: Corn

Aufgabe
  Sei X eine $ [mm] exp(\alpha) [/mm] $ verteilte Zufallsvariable
$ [mm] \int [/mm] $ t $ [mm] dP_x [/mm] $ = ?
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] $ = ?  

Hallo
Also um weitere Hilfe komme ich leider doch nicht drumrum

$ [mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] \cdot{}e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_{-\infty} [/mm] $  

Für Plus Unendlich wir der E-Term ja 0, also alles gleich Null. Für Minus unendlich kriege ich aber ein Problem

$=- [mm] \frac{1}{a^2}(a \infty [/mm] - 1)$ = - [mm] \infty [/mm]
???

$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 \cdot{} e^{-at} [/mm] dt $

$ = [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}\cdot{}(a^2\cdot{}t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{-\infty} [/mm] $

Mit dem selben Fehler käme ich hier auch auf [mm] -\infty [/mm] als Ergebnis


Bezug
                        
Bezug
Zufallsvariable Integral: Null als Grenze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 So 03.02.2008
Autor: Infinit

Hallo Corn,
wenn Du meine Antwort richtig gelesen hättest, würdest Du Null als untere Grenze einsetzen.
Gruß,
Infinit

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Bezug
Zufallsvariable Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 So 03.02.2008
Autor: Corn

Aufgabe
   Sei X eine $ [mm] exp(\alpha) [/mm] $ verteilte Zufallsvariable
$ [mm] \int [/mm] $ t $ [mm] dP_x [/mm] $ = ?
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] $ = ?  

>  wenn Du meine Antwort richtig gelesen hättest, würdest Du
> Null als untere Grenze einsetzen.

Ich dachte du hast dich vertan und meintest mit der Grenze [mm] \infty, [/mm] daß da Null herauskommt

$ [mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] \cdot{}e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_0 [/mm] = 0 - [mm] (\frac{e^0}{a^2}(-1)) [/mm]  = [mm] \frac{1}{a^2}$ [/mm]  

Stimmt des jetz so?

Danke

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Bezug
Zufallsvariable Integral: Okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 So 03.02.2008
Autor: Infinit

Ja, das sieht doch schon besser aus.
Gruß,
Infinit

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Zufallsvariable Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 03.02.2008
Autor: Corn

Gut, danke dir. Aber wie siehts nun aus beim zweiten?

$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 \cdot{} e^{-at} [/mm] dt $

$ = [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}\cdot{}(a^2\cdot{}t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{0} [/mm] $

= [mm] -(\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{1(a^2*0+2a*0+2)}{a^3} [/mm]

= [mm] -\frac{2}{a^3}+\frac{2}{a^3} [/mm] = 0

Das ist irgendwie ein unschönes Ergebnis

Bezug
                                                        
Bezug
Zufallsvariable Integral: Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 So 03.02.2008
Autor: Infinit

Hallo Corn,
das mit dem Integral bekomme ich so nicht raus, denn
$$ [mm] \int (x^2 \exp^{bx} [/mm] ) dx = [mm] \exp^{bx} \left( \bruch{x^2}{b} - \bruch{2x}{b^2} + \bruch{2}{b^3} \right) [/mm] $$
Hier tauchen dann bei der oberen Grenze Ausdrücke der Form [mm] 0 \cdot \infty [/mm] auf, deren Grenzwert man bestimmen muss.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                
Bezug
Zufallsvariable Integral: allgemeine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 So 03.02.2008
Autor: Corn

Hallo.

Das mit dem Integrieren musste ich partiell versuchen, das war sehr mühsam und will ich deswegen auch nicht noch mal versuchen.
Die Rechnung dort ist doch vollkommen analog zu dem ersten Beispiel und es sollte eine Zahl [mm] \in \IR [/mm] herauskommen?

$ [mm] \int (x^2 \exp^{-bx} [/mm] ) dx = [mm] \exp^{-bx} \left( \bruch{x^2}{-b} - \bruch{2x}{b^2} + \bruch{2}{-b^3} \right) [/mm] $

Mit 0 bis +unendlich eingesetzt erhalte ich für +unendlich erst einmal 0. Für die Integralsgrenze 0

[mm] \bruch{2}{-b^3} [/mm]
Wobei ich sagen muß, ich war mir da nicht ganz sicher, ob da ein Minus davorkommt oder nicht.
Aber im Prinzip richtig?

Dankeschööön.
Corn


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Zufallsvariable Integral: Im Prinzip ja
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mo 04.02.2008
Autor: Infinit

Hallo Corn,
der Rechenweg ist schon okay, auch die Berücksichtigung des negativen b. Denke aber daran, dass dies das Ergebnis für die untere Integralgrenze ist, so dass hier nochmal ein Minus davorgehört. Das Ergebnis ist also wieder positiv.
Viele Grüße,
Infinit

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