Zufallsvariable Abbildung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Sa 30.10.2010 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | Der Zufallsgenerator eines Computers kann nur unabhängige Zufallszahlen erzeugen, die aus einer Gleichverteilung über dem Intervall [0,1] stammen. Ein Benutzer möchte aber unabhängige Zufallszahlen mit der Verteilungsfunktion
[mm] F(x)=\begin{cases} 1-exp(-x), & \mbox{für } x\geq 0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
erzeugen. Um dies zu erreichen, berechnet der Benutzer die Zufallsvariable [mm] T(X_j) [/mm] für [mm] T:[0,1)\to \IR, [/mm] wobei [mm] X_j [/mm] die Zufallszahlen seien, die der Computer ausgibt. Welche Funktion T sollte der Benutzer wählen? |
halli hallo
wir hatten die Zufallsvariabel in der Vorlesung als eine Transformation zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsräumen, beziehungsweise eine Abbildung zwischen den Ergebnismengen definiert, also [mm] (\Omega_1,\mathcal{A}_1,P_1) [/mm] und [mm] (\Omega_2,\mathcal{A}_2,P_2) [/mm] mit [mm] T:\Omega_1 \mapsto \Omega_2. [/mm] Das habe ich auch versucht.
Computer: [mm] \Omega_1=\{x\in \IR|x\in [0,1]\}
[/mm]
Benutzer: [mm] \Omega_2=\IR
[/mm]
die Verteilungsfunktion bildet von [mm] \IR [/mm] nach [0,1] ab (das gilt ja bei jeder verteilungsfkt.), also gerade von [mm] \Omega_2 [/mm] nach [mm] \Omega_1. [/mm] Kann ich dann als gesuchte Abbildung einfach die Umkehrfunktion nehmen? Die wäre dann [mm] -\ln(1-x). [/mm] die bildet doch aber nicht von [0,1] nach [mm] \IR [/mm] ab....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mo 01.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
allgemein gilt:
Ist F eine stetige Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X, so ist die Zufallsvariable
[mm]F(X)[/mm] gleichverteilt auf [0,1].
Will man Zufallsvariablen erzeugen die gemäß F verteilt sind, so erzeugt man U (auf [0,1] gleichverteilte) und setzt diese in die Umkehrfunktion von F ein
[mm]F(X) = U[/mm]
[mm]X = F^{-1}(U)[/mm]
Also hast du dass schon richtig gemacht.
Exponentialverteilte ZV hat nur Werte größer null, betrachte deine Umkehrfunktion nochmal genau sie bildet [0,1] ab auf [mm]\IR_+[/mm]
gruß
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