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Zufallsvariable + Erwartungswe: Berchnung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Mo 26.03.2007
Autor: LittleStudi

Aufgabe
Es sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen

Y:= [mm] \bruch{1}{1+X}. [/mm]

Kann den jemand berechnen???

Dank euch.

        
Bezug
Zufallsvariable + Erwartungswe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mo 26.03.2007
Autor: luis52


> Es sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable zum
> Parameter [mm]\lambda[/mm] > 0. Berechnen Sie den Erwartungswert der
> Zufallsvariablen
>  
> Y:= [mm]\bruch{1}{1+X}.[/mm]
>  Kann den jemand berechnen???


[mm] \begin{matrix} \mbox{E}[X]&=&\sum_{x=0}^\infty\frac{1}{x+1}\frac{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]\\ &=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^{x+1}}{(x+1)!}\\ &=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^x}{x!}-1\right]\\ &=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\exp[\lambda]-1\right]\\ &=&\frac{1-\exp[-\lambda]}{\lambda} \end{matrix} [/mm]          

hth

Bezug
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