Zufallsvariable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 29.11.2017 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | | Sei X : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Zufallsvar. mit W'dichte [mm] f_X [/mm] und [mm] h:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] s.m.wachsende, diff'bare Funktion. |
Zu zeigen ist dass Z= h(X) eine Zufallsvariable ist.
Wie könnte ich diese Aussage zeigen?
Meine Ideen:
Also Zufallsvariable ist ja so definiert: [mm] (\Omega, \F) [/mm] und (P, [mm] \S) [/mm] Wahrscheinlichkeitsraum. [mm] X:\Omega [/mm] -> P Zufallsvariable falls X^-1(A) [mm] \in \F \forall [/mm] A [mm] \in \S.
[/mm]
In der Aufgabe ist X bereits eine Zufallsvariable. Kann man nicht daraus sofort folgern dass Z eine Zufallsvariable ist?
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Hiho,
also ihr hattet bestimmt eine der folgenden Aussagen:
1.) Jede monotone Funktion ist meßbar
2.) Jede stetige Funktion ist meßbar
$h$ ist sowohl stetig als auch monoton und damit insbesondere meßbar.
X ist auch meßbar.
Falls du dich über den Begriff wunderst: Meßbarkeit einer Abbildung ist bei dir die Definition einer ZV.
Also ist $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ebenfalls eine ZV von [mm] $\IR \to \IR$.
[/mm]
Zeige nun rein formal: [mm] $Z^{-1}(A) \in \mathcal{F}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 29.11.2017 | | Autor: | Son |
Seinen [mm] (\Omega,F) [/mm] und [mm] (\IR,S) [/mm] Ereignisräume. Es gilt [mm] X^{-1}(A) \in [/mm] F [mm] \forall A\in [/mm] S und [mm] X\in [/mm] S nach Definition aus der Vorlesung ->(Monotonie) [mm] Z^{-1}=h^{-1}(X) \in [/mm] R, da [mm] h:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] -> [mm] h^{-1}(X) \in [/mm] S [mm] \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S. Also g ist Zufallsvariable da [mm] Z^{-1}=h^{-1}(X) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 29.11.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus
Marius
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