Zu Lösende Gleichung mit Log < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hiho,
Ich bin gerade etwas überfordert mit dem Auflösen dieser Gleichung nach c.
[mm]
ce^c - ce^{c-1} + e^{c-1} = 0
[/mm]
Das Ergebnis lautet:
[mm]
\frac{1}{1-e}
[/mm]
Kann mir jemand da auf die Sprünge helfen?
Dankeschön schonmal ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Di 30.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo M_Bakunin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
[mm]ce^c - ce^{c-1} + e^{c-1} = 0[/mm]
Klammere doch einfach mal [mm] $e^c$ [/mm] aus.
Du erhältst:
[mm] $e^c [/mm] * (c - c * [mm] e^{-1} [/mm] + [mm] e^{-1}) [/mm] = 0$
Kommst Du nun alleine weiter?
Grüße Loddar
PS: Der Logarithmus ist bei dieser Aufgabe nicht erforderlich ...
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Nabend, und vielen Dank für die lieben Willkommensgrüße,
Dein Tipp hat mich auf eine Gleichung gebracht, die einfach abzuleiten war.
[mm]
e^c*(c-ce^{-1} + e^{-1}) = 0
[/mm]
Da die Klammer 0 sein muss:
[mm]
c-ce^{-1} + e^{-1} = 0
[/mm]
Und nun:
[mm]
f(x) = c-ce^{-1} + e^{-1}
[/mm]
[mm]
f'(x) = 1 - \frac{1}{e}
[/mm]
Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren bekomme ich:
[mm]x_{n+1} = x - \frac{f(x)}{f'(x)} = - 0,582[/mm]
Bis hierhin alles super, danke!
Aber: kann man die Gleichung denn nicht ohne Näherungsverfahren lösen?
Wenns daran geht, bin ich mit meinem Latein am Ende...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Di 30.11.2004 | | Autor: | Loddar |
> Aber: kann man die Gleichung denn nicht ohne
> Näherungsverfahren lösen?
> Wenns daran geht, bin ich mit meinem Latein am Ende...
[mm] $e^c [/mm] * [mm] (c-ce^{-1} [/mm] + [mm] e^{-1}) [/mm] = 0$
Korrekt formuliert muß es heißen: Eine der beiden Faktoren [mm] ($e^c$ [/mm] bzw. die Klammer) muß Null sein.
Da aber gilt [mm] $e^c \not= [/mm] 0$ für alle $c [mm] \in \IR$, [/mm] brauchen wir uns nur noch die Klammer etwas näher ansehen:
$c - [mm] ce^{-1} [/mm] + [mm] e^{-1} [/mm] = 0$ | * [mm] $e^1$
[/mm]
[mm] $c*e^1 [/mm] - c + 1 = 0$ | -1 sowie links c ausklammern ...
$c * (e - 1) = -1$ | : $(e-1)$
$c = [mm] \bruch{-1}{e-1}$
[/mm]
Wenn ich nun den Bruch mit "-1" erweitere, erhalte ich exakt Deine gewünschte Lösung:
$c = [mm] \bruch{1}{1-e} \approx [/mm] -0,58198$
Ich denke mal, verwirrend war hier das gemischte Auftreten Deiner Variablen c mit der Euler-Zahl e.
Die Variable c trat (zumindest in der Klammer) weder als Hochzahl noch in einer höheren Potenz auf. Daraus kannst Du schon folgern, daß i.a. eine exakte Lösung zu ermitteln ist.
Ich hoffen, nun sind alle Klarheiten beseitigt ... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Di 30.11.2004 | | Autor: | M_Bakunin |
Hi,
mir gehen gerade tausend Lichter auf...
Ich sollte mir wohl dringend nochmal die Potenzgesetze einverleiben!
Danke für die ausführliche Hilfe,
Felix
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