Zinsrechnung als geom. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Guthaben in Höhe von 5000 werde jählich mit einem Zinssatz p(%) verzinst. Unmittelbar nach der Zinsgutschrift wird ein Teil des Guthabens in Höhe von R(Euro) abgehoben.
(a) Welcher Zinssatz p ist erforderlich, damit bei jährlicher Abhebung von 350 das Guthaben nach 25 Jahren vollständig aufgebraucht ist?
(b) Welche max. jährliche Abhebung (gleichbleibend) ist bei einem Zinssatz von 4,5% und einer Laufzeit von 18 Jahren möglich?
(c) Guthaben werden meist jährlich verzinst. Um welchen Faktor würde sich der Zinserlös bei monatlicher, täglicher und stündlicher Verzinsung erhöhen?
Bemerkung: Im Unterschied zu Bankern setzten wir das Jahr mit 365 Tagen an. |
In unserer Übung (zur Vorlesung) hat der Prof. aus dem ganzen irgendwie eine geometrische Summe gemacht, wie - konnte ich nicht ganz nachvollziehen und auch nicht warum. Wenn man fragt schweift er ab.
Diese Summe ist jetzt jeden falls folgende:
[mm] G_{n}(q)=5000 \times q^n-R\bruch{1-q^n}{1-q}=0
[/mm]
Das einzige was er dazu gesagt hat war, dass wir das ganze mit (1-q) multiplizieren müssten und das wars. Mir hilft das gar nicht weiter, da das nichts mehr mit normaler Zinsrechnug zu tun hat. Was ist hier q? p ist völlig verschwunden und R ist auch unbekannt - wie also soll man damit rechnen? Und was in diesem Fall ist n?
Ich bräuchte da dringend Hilfe. Vielleicht seh ich auch nu den Wald vor lauter Bäumen nicht;)
Katharina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katharina!
$q_$ ergibt sich aus dem Prozentsatz [mm] $p\%$ [/mm] mit:
$$q \ = \ [mm] 1+\bruch{p\%}{100}$$
[/mm]
Für die Umformung der Gleichung würde ich jedoch zunächst $q_$ beibehalten.
Und $n_$ ist die Anzahl der Jahre, welche ja auch in den einzelnen Teilaufgaben gegeben sind.
Gruß
Loddar
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Das hieße für a)
(1-q) [mm] \times [/mm] (5000 [mm] \times [/mm] q^25) - (1-q) [mm] \times [/mm] (350 [mm] \times [/mm] 1- q^25) = 0
(1-q) [mm] \times [/mm] (5000 [mm] \times [/mm] q^25 - 350 [mm] \times [/mm] (1- q^25)) = 0
(5000 q^25-5000 q^26)- (350-350q-350 q^25 + 350 q^26) = 0
5000 q^25 - 5000 q^26 - 350-350q +350 q^25 -350 q^26 = 0
5350 q^25 - 5350 q^26 + 350q - 350 = 0 |+350
5350 q^25 - 5350 q^26 + 350q = 350
q(5350q^24 - 5350q^25 + 350) = 350
Ist das halbwegs richtig? Und wenn nicht, wie gehts anders, und vor allem weiter:
Ich würde jetzt 5350q^24 - 5350q^25 + 350 = 0 setzen: |-350
5350q^24 - 5350q^25 = -350
q^24 [mm] \times [/mm] (5350 - 5350 q) = -350
Das ganze nochmal:
5350 - 5350 q = 0
- 5350 q = - 5350 |(- 5350)
q = 1
aber das ist vermutlich völlig falsch.
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Hallo anjali251,
> Das hieße für a)
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> (1-q) [mm]\times[/mm] (5000 [mm]\times[/mm] q^25) - (1-q) [mm]\times[/mm] (350 [mm]\times[/mm]
> 1- q^25) = 0
> (1-q) [mm]\times[/mm] (5000 [mm]\times[/mm] q^25 - 350 [mm]\times[/mm] (1- q^25)) =
> 0
> (5000 q^25-5000 q^26)- (350-350q-350 q^25 + 350 q^26) =
> 0
> 5000 q^25 - 5000 q^26 - 350-350q +350 q^25 -350 q^26 = 0
> 5350 q^25 - 5350 q^26 + 350q - 350 = 0 |+350
> 5350 q^25 - 5350 q^26 + 350q = 350
> q(5350q^24 - 5350q^25 + 350) = 350
>
> Ist das halbwegs richtig? Und wenn nicht, wie gehts anders,
> und vor allem weiter:
>
> Ich würde jetzt 5350q^24 - 5350q^25 + 350 = 0 setzen:
> |-350
>
> 5350q^24 - 5350q^25 = -350
> q^24 [mm]\times[/mm] (5350 - 5350 q) = -350
>
> Das ganze nochmal:
> 5350 - 5350 q = 0
> - 5350 q = - 5350 |(- 5350)
> q = 1
> aber das ist vermutlich völlig falsch.
Die Formel lautet so:
[mm]5000*q^{n}-R*\bruch{1-q^{n}}{1-q}=0[/mm]
Multipliziert man hier mit 1-q durch, so steht da:
[mm]\left(1-q\right)*5000*q^{n}-\left(1-q\right)*R*\bruch{1-q^{n}}{1-q}=0[/mm]
Statt
[mm]\left(1-q\right)*R*\bruch{1-q^{n}}{1-q}[/mm]
kann man schreiben:
[mm]R*\left(1-q^{n}\right)[/mm]
Somit lautet dann das Ergebnis:
[mm]\left(1-q\right)*5000*q^{n}-R*\left(1-q^{n}\right)=0[/mm]
Diese Formel gilt es nun entsprechend zu behandeln,
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | (1-q) [mm] \times [/mm] 5000 [mm] \times [/mm] q^25 - 350 [mm] \times [/mm] (1-q^25) = 0 |
Ich komm irgendwie nicht weiter:
Wenn ich die Aufgabe wie oben habe, dann komme ich nach umstellen, ist auf meinem Zettel jetzt enorm durcheinander, auf q =1 und das kann irgendwie nicht sein, weil das Ergebnis für a) ges:p dann 99 wäre. Und das haut definitiv nicht hin.
Habe es folgender Maßen gemacht:
(1-q) [mm] \times [/mm] 5000 [mm] \times q^{25} [/mm] - (350 [mm] \times (1-q^{25}))=0 [/mm] | +(350 [mm] \times (1-q^{25}))
[/mm]
[mm] 5000q^{25} [/mm] - [mm] 5000q^{26} [/mm] = (350 [mm] \times (1-q^{25}))
[/mm]
[mm] 5000q^{25} [/mm] - [mm] 5000q^{26} [/mm] = 350 - 350 [mm] q^{25} |+350q^{25}
[/mm]
[mm] 5350q^{25} [/mm] - [mm] 5000q^{26} [/mm] = 350 |+5000 [mm] q^{26}
[/mm]
[mm] 5350q^{25} [/mm] = 350 + 5000 [mm] q^{26} [/mm] |-350
[mm] 5350q^{25} [/mm] -350 = 5000 [mm] q^{26} |/q^{25}
[/mm]
5000 = [mm] \bruch{5000 q^{26}}{q^{25}} [/mm] |kürzen
5000 = 5000 q |/ 5000
1 = q
Wenn ich das jetzt in die Formel für q einsetzen würde, käme raus:
q = (1+ [mm] \bruch{p %}{100}) [/mm] | für q=1
1 = (1+ [mm] \bruch{p %}{100}) [/mm] |mal 100
100=1+p% |-1
99 = p%
Aber wie schon gesagt ich bezweifele dass das richtig ist. Wo liegt der Fehler?? Kann mir bitte jemand helfen?
Die Formel geht nicht richtig zu schreiben, habs wirklich versucht heißt: p% geteilt durch 100!
Zu Aufgabe b, das ist glaub ich ein bischen einfacher:
R ist gesucht, p% ist 4,5
(1-q) [mm] \times [/mm] 5000 [mm] \times q^{n} [/mm] - R [mm] \times (1-q^{n}) [/mm] = 0 |+R [mm] \times (1-q^{n})
[/mm]
(1-q) [mm] \times [/mm] 5000 [mm] \times q^{n}=R \times (1-q^{n}) [/mm] | [mm] /(1-q^{n})
[/mm]
[mm] \bruch{(1-q) \times 5000 \times q^{n}}{(1-q^{n})}= [/mm] R
Für q gilt ( 1 + [mm] \bruch{4,5}{100}) [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe, würde bedeuten, das q=1,045 ist.
Stimmt das so?
Habe das für b) erst mal so gemacht:
[mm] \bruch{(1-q) \times 5000 \times q^{n} }{(1-q^{n})} [/mm] = R
geg: q = 1,045, n=18
ges: R
[mm] \bruch{(1-1,045) \times 5000 \times 1,045^{18} }{(1-1,045^{18})} [/mm] = R
[mm] \bruch{(-0,045) \times 5000 \times 1,045^{18} }{(-1,208478766)} [/mm] = R
[mm] \bruch{-496,9077224}{-1,208478766)} [/mm] = R
gerundet 411, 18 ist als max. jährliche Abhebung möglich.
Wie komme ich jetzt auf die p% von Aufgabe a?
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Hallo anjali251,
> (1-q) [mm]\times[/mm] 5000 [mm]\times[/mm] q^25 - 350 [mm]\times[/mm] (1-q^25) = 0
> Ich komm irgendwie nicht weiter:
>
> Wenn ich die Aufgabe wie oben habe, dann komme ich nach
> umstellen, ist auf meinem Zettel jetzt enorm durcheinander,
> auf q =1 und das kann irgendwie nicht sein, weil das
> Ergebnis für a) ges:p dann 99 wäre. Und das haut definitiv
> nicht hin.
>
> Habe es folgender Maßen gemacht:
>
> (1-q) [mm]\times[/mm] 5000 [mm]\times q^{25}[/mm] - (350 [mm]\times (1-q^{25}))=0[/mm]
> | +(350 [mm]\times (1-q^{25}))[/mm]
> [mm]5000q^{25}[/mm] - [mm]5000q^{26}[/mm] = (350
> [mm]\times (1-q^{25}))[/mm]
> [mm]5000q^{25}[/mm] - [mm]5000q^{26}[/mm] = 350 - 350
> [mm]q^{25} |+350q^{25}[/mm]
> [mm]5350q^{25}[/mm] - [mm]5000q^{26}[/mm] = 350
> |+5000 [mm]q^{26}[/mm]
> [mm]5350q^{25}[/mm] = 350 + 5000 [mm]q^{26}[/mm]
> |-350
> [mm]5350q^{25}[/mm] -350 = 5000 [mm]q^{26} |/q^{25}[/mm]
>
> 5000 = [mm]\bruch{5000 q^{26}}{q^{25}}[/mm]
> |kürzen
> 5000 = 5000 q
> |/ 5000
> 1 = q
[mm]q=1[/mm] ist zwar auch eine Lösung, macht aber keinen Sinn.
>
> Wenn ich das jetzt in die Formel für q einsetzen würde,
> käme raus:
>
> q = (1+ [mm]\bruch{p %}{100})[/mm] | für q=1
> 1 = (1+ [mm]\bruch{p %}{100})[/mm] |mal 100
> 100=1+p% |-1
Dann steht doch da: [mm]100=100+p[/mm]
> 99 = p%
>
> Aber wie schon gesagt ich bezweifele dass das richtig ist.
> Wo liegt der Fehler?? Kann mir bitte jemand helfen?
> Die Formel geht nicht richtig zu schreiben, habs wirklich
> versucht heißt: p% geteilt durch 100!
>
> Zu Aufgabe b, das ist glaub ich ein bischen einfacher:
> R ist gesucht, p% ist 4,5
>
> (1-q) [mm]\times[/mm] 5000 [mm]\times q^{n}[/mm] - R [mm]\times (1-q^{n})[/mm] = 0
> |+R [mm]\times (1-q^{n})[/mm]
> (1-q) [mm]\times[/mm] 5000 [mm]\times q^{n}=R \times (1-q^{n})[/mm]
> | [mm]/(1-q^{n})[/mm]
> [mm]\bruch{(1-q) \times 5000 \times q^{n}}{(1-q^{n})}=[/mm] R
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> Für q gilt ( 1 + [mm]\bruch{4,5}{100})[/mm] wenn ich das richtig
> verstanden habe, würde bedeuten, das q=1,045 ist.
>
> Stimmt das so?
>
> Habe das für b) erst mal so gemacht:
>
> [mm]\bruch{(1-q) \times 5000 \times q^{n} }{(1-q^{n})}[/mm] = R
>
> geg: q = 1,045, n=18
> ges: R
>
> [mm]\bruch{(1-1,045) \times 5000 \times 1,045^{18} }{(1-1,045^{18})}[/mm]
> = R
>
> [mm]\bruch{(-0,045) \times 5000 \times 1,045^{18} }{(-1,208478766)}[/mm]
> = R
>
> [mm]\bruch{-496,9077224}{-1,208478766)}[/mm] = R
>
> gerundet 411, 18 ist als max. jährliche Abhebung
> möglich.
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie komme ich jetzt auf die p% von Aufgabe a?
Die Lösung kannst Du nur näherungsweise ermitteln.
Gruß
MathePower
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Was heißt näherungsweise? Wie mache ich das? Soll ich einfach abschätzen? Oder geht ausprobieren, Vielleicht in dem ich R suche, bis ich auf die 350 komme?
Geht das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 07.12.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo anjali,
> Was heißt näherungsweise? Wie mache ich das? Soll ich
> einfach abschätzen? Oder geht ausprobieren, Vielleicht in
> dem ich R suche, bis ich auf die 350 komme?
> Geht das?
Der Ansatz lautet:
[mm] 5.000q^{25} [/mm] - [mm] 350*\bruch{q^{25}-1}{q-1} [/mm] = 0
Aufgelöst erhälst du die Gleichung:
[mm] q^{26} -1,07q^{25} [/mm] + 0,07 = 0
Diese Gleichung musst du nun lösen, z.B. durch Probieren, Schätzen, durch Rechner oder Regula falsi.
In der Aufgabe ist bereits ein Prozentsatz von 4,5 % bei einer Laufzeit von 18 Jahren angegeben.
Der gesuchte Prozentsatz muss also zwischen 4 % und 5 % liegen.
Versuche es mal als Startwert mit 4 % bis die Gleichung annähernd 0 ergibt.
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 So 07.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Danke Schön, das hat mir weitergeholfen, hatte schon ein wenig probiert und bin auf etwa 4,8% gekommen, dann kann man einen Betrag von 350,15 abheben. Ich hoffe, dass das ausreicht, näher komme ich nicht ran. Danke noch mal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 07.12.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo anjali,
> Danke Schön, das hat mir weitergeholfen, hatte schon ein
> wenig probiert und bin auf etwa 4,8% gekommen,
> dann kann
> man einen Betrag von 350,15 abheben. Ich hoffe, dass das
> ausreicht, näher komme ich nicht ran.
das reicht auch völlig!
p = 4,8656...%
Viele Grüße
Josef
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