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Hallo,
ich schreib gerade an einer Seminararbeit über den Vergleich von Ratensparplänen mithilfe geometrischer Folgen und Reihen. Leider habe ich nun eine Problem, und komme nicht weiter.
Bei meinen Ratensparplänen wird jährlich ein Bonus gezahlt und mitverzinst. Die Bonussätze sind allerdings verschieden . Habe nun folgende Ergebnisse bei zwei verschiedenen Ratensparplänen:
1. Kn = R ∙ q ∙ [mm] (q^n-1)/(q-1) [/mm] + R ∙ (Bn + Bn-1 ∙ q + Bn-2 ∙ [mm] q^2 [/mm] +
+ B2 ∙ [mm] q^n-2 [/mm] + B1 ∙ [mm] q^n-1)
[/mm]
2. Kn = R ∙ q ∙ [mm] (q^n-1)/(q-1) [/mm] + R ∙ [B1+(n-1)d + B1+(n-2)d*q +...+
+ [mm] (B1+d)*q^n-2 [/mm] + [mm] B1*q^n-1]
[/mm]
hier ist also eine arithmetische Reihe in einer geometrischen versteckt....?!
Wobei gilt:
Kn Kapital am Ende des n-ten Jahres
R Rate
q Quotient
Bn Bonussatz des n-ten Jahres
d Steigerung des Bonussatzes
Vielleicht weiß jemand wie ich hier auf eine Formel komme bzw. wie ich mein Problem beheben kann...
Wäre echt super.
Vielen Dank
Carolin282
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Hallo Carolin282,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich schreib gerade an einer Seminararbeit über den
> Vergleich von Ratensparplänen mithilfe geometrischer Folgen
> und Reihen. Leider habe ich nun eine Problem, und komme
> nicht weiter.
>
> Bei meinen Ratensparplänen wird jährlich ein Bonus gezahlt
> und mitverzinst. Die Bonussätze sind allerdings verschieden
> . Habe nun folgende Ergebnisse bei zwei verschiedenen
> Ratensparplänen:
>
> 1. Kn = R ∙ q ∙ [mm](q^n-1)/(q-1)[/mm] + R ∙ (Bn
> + Bn-1 ∙ q + Bn-2 ∙ [mm]q^2[/mm] +
+ B2 ∙ [mm]q^n-2[/mm] +
> B1 ∙ [mm]q^n-1)[/mm]
>
> 2. Kn = R ∙ q ∙ [mm](q^n-1)/(q-1)[/mm] + R ∙
> [B1+(n-1)d + B1+(n-2)d*q +...+
> + [mm](B1+d)*q^n-2[/mm] + [mm]B1*q^n-1][/mm]
> hier ist also eine arithmetische Reihe in einer
> geometrischen versteckt....?!
>
> Wobei gilt:
> Kn Kapital am Ende des n-ten Jahres
> R Rate
> q Quotient
> Bn Bonussatz des n-ten Jahres
> d Steigerung des Bonussatzes
Soweit ich das sehe, handelt es sich um diese Summe:
[mm]\begin{gathered}
\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {B_1 \; + \;\left( {i\; - \;1} \right)\;d} \right)\;q^{n\; - \;i} } \; = \;\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {B_1 \; + \;\left( {n\; - \;k\; - \;1} \right)\;d} \right)\;q^k } \hfill \\
= \;\left( {B_1 \; + \;\left( {n\; - \;1} \right)\;d} \right)\;\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {q^k } \, - \;d\;\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {k\;q^k } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun die Summe [mm]\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {q^k } [/mm] ist ja bekannt:
[mm]\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {q^k } \; = \;\frac{{q^n \; - \;1}}
{{q\; - \;1}}[/mm]
Die Summe [mm]\sum \limits_{k = 1}^{n - 1} {k\;q^k } [/mm] bekommt man nun durch differenzieren beider Seiten der Gleichung nach q:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{d}
{{dq}}\;:\;\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\;q^{k - 1} } \; = \;\frac{{n\;q^{n - 1} \;\left( {q\; - \;1} \right)\; - \;q^n }}
{{\left( {q\; - \;1} \right)^2 }} \hfill \\
\Rightarrow \;\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\;q^k } \; = \;q\;\frac{{n\;q^{n - 1} \;\left( {q\; - \;1} \right)\; - \;q^n }}
{{\left( {q\; - \;1} \right)^2 }}\; = \;n\;\frac{{q^n }}
{{q\; - \;1}}\; - \;\frac{{q^{n + 1} }}
{{\left( {q\; - \;1} \right)^2 }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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