Zinseszins Berechnung von q < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgendes Problem und komm leider nicht zur Lösung.
Es werden am Anfang des ersten Jahres
98,95€ eingezahlt, nach jedem Jahr werden 6,75€ Zinsen ausgezahlt. Nach fünf Jahren werden zusätzlich noch 100€ ausgezahlt.
Wie berechne ich hier den Barwert? Im Skript steht dazu folgendes:
98,95 = 6,75q + [mm] 6,75q^2+ 6,75q^3 [/mm] + [mm] 6,75q^4 [/mm] + [mm] 106,75q^5
[/mm]
Leider weiß ich nicht, welchen Trick ich anwenden damit ich q ausrechnen kann. Es sollte q=1,07 sein. Nur wie komme ich dahin?
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus schonmal.
honigblume79
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Barwertberechnung-bei-zusammengesetzten-Zahlungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo honigblume79,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es werden am Anfang des ersten Jahres
> 98,95€ eingezahlt, nach jedem Jahr werden 6,75€ Zinsen
> ausgezahlt. Nach fünf Jahren werden zusätzlich noch
> 100€ ausgezahlt.
> Wie berechne ich hier den Barwert? Im Skript steht dazu
> folgendes:
>
> 98,95 = 6,75q + [mm]6,75q^2+ 6,75q^3[/mm] + [mm]6,75q^4[/mm] + [mm]106,75q^5[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht, welchen Trick ich anwenden damit
> ich q ausrechnen kann. Es sollte q=1,07 sein. Nur wie komme
> ich dahin?
Gleichung Null setzen und ein Standardverfahren zur Nullstellenbestimmung auswählen.
Du kannst die Gleichung auch so schreiben:
98,95 = [mm] 6,75*\bruch{q^4 -1}{(q-1)*q^4} [/mm] + [mm] \bruch{106,75}{q^5}
[/mm]
Den gemeinsamen Hauptnenner bestimmen
und durch Umformung und Auflösung der Klammern ergibt:
[mm] 98,95q^{10} -105,7q^9 [/mm] - [mm] 100q^5 [/mm] + [mm] 106,75q^4 [/mm] = 0
q = 1,0700
Viele Grüße
Josef
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Vielen Dank.
kannst du mir auch erklären, warum ich die Gleichung gleich null setzen soll und die Nullstellen berechnen soll? Ich wäre nie auf die Idee gekommen. Leider!
> Hallo honigblume79,
> Gleichung Null setzen und ein Standardverfahren zur
> Nullstellenbestimmung auswählen.
>
>
> Du kannst die Gleichung auch so schreiben:
>
> 98,95 = [mm]6,75*\bruch{q^4 -1}{(q-1)*q^4}[/mm] +
> [mm]\bruch{106,75}{q^5}[/mm]
>
> Den gemeinsamen Hauptnenner bestimmen
>
> und durch Umformung und Auflösung der Klammern ergibt:
>
>
> [mm]98,95q^{10} -105,7q^9[/mm] - [mm]100q^5[/mm] + [mm]106,75q^4[/mm] = 0
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> q = 1,0700
>
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> Viele Grüße
> Josef
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo honigblume79,
> Vielen Dank.
> kannst du mir auch erklären, warum ich die Gleichung
> gleich null setzen soll und die Nullstellen berechnen soll?
> Ich wäre nie auf die Idee gekommen. Leider!
>
> >
> > Du kannst die Gleichung auch so schreiben:
> >
> > 98,95 = [mm]6,75*\bruch{q^4 -1}{(q-1)*q^4}[/mm] +
> > [mm]\bruch{106,75}{q^5}[/mm]
> >
> > Den gemeinsamen Hauptnenner bestimmen
> >
> > und durch Umformung und Auflösung der Klammern ergibt:
> >
> >
> > [mm]98,95q^{10} -105,7q^9[/mm] - [mm]100q^5[/mm] + [mm]106,75q^4[/mm] = 0
> >
> > q = 1,0700
> >
> >
Die vorstehende Rechnung, die ich benutzt habe, ist die verkürzte Formel bei Rentenrechnungen. Daher ist mir deine zuerst angegebene falsche Gleichung nicht aufgefallen. Entschuldige vielmals dafür.
Wenn du für q = 1,07 einsetzt, dann geht die Gleichung auf.
Ein einfaches Auflösen mach q ist mit solchen Gleichungen nicht mehr möglich. Man kann spezielle Lösungsverfahren, die in der Fachliteratur beschrieben sind, zwar anwenden, aber man erhält durch Probieren, d.h. Einsetzen geeigneter Werte in die obige Gleichung - mit dem Taschenrechner - rasch praktikable Lösungsnäherungen. Als Startwert für das Probieren wählt man einen auf dem Kapitalmarkt üblichen Zinsfuß (z.B. p = 10 (q = 1,1) oder p = 5 (q = 1,05) und setzt diese Werte in die Gleichung ein. Somit hat man den Lösungswert bereits eingegrenzt. Bei negativem F(q) hat man q zu klein , bei positivem Wert zu groß angesetzt. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit sollt man sich eine kleine Wertetabelle anlegen.
Viele Grüße
Josef
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> > 98,95 = 6,75q + [mm]6,75q^2+ 6,75q^3[/mm] + [mm]6,75q^4[/mm] + [mm]106,75q^5[/mm]
> Du kannst die Gleichung auch so schreiben:
>
> 98,95 = [mm]6,75*\bruch{q^4 -1}{(q-1)*q^4}+\bruch{106,75}{q^5}[/mm]
Hallo Josef,
diese Umformung durchschaue ich nicht. Stimmt sie überhaupt,
bzw. stimmt die Gleichung aus dem Skript überhaupt ?
LG Al-Chw.
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Fehler, die Fehlerteufel hat sich eingeschlichen, die Formel müsste so sein:
98,95 = 6,75/q + [mm] 6,75/q^{2} [/mm] + [mm] 6,75/q^{3} [/mm] + [mm] 6,75/q^{4}+ 106,75/q^{5}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > > 98,95 = 6,75q + [mm]6,75q^2+ 6,75q^3[/mm] + [mm]6,75q^4[/mm] + [mm]106,75q^5[/mm]
>
Die Gleichung muss richtig lauten:
98,95 = [mm] \bruch{6,75}{q} [/mm] + [mm] \bruch{6,75}{q^2} [/mm] + [mm] \bruch{6,75}{q^3} [/mm] + [mm] \bruch{6,75}{q^4} [/mm] + [mm] \bruch{106,75}{q^5}
[/mm]
> > Du kannst die Gleichung auch so schreiben:
> >
> > 98,95 = [mm]6,75*\bruch{q^4 -1}{(q-1)*q^4}+\bruch{106,75}{q^5}[/mm]
>
>
> Hallo Josef,
>
> diese Umformung durchschaue ich nicht. Stimmt sie
> überhaupt,
> bzw. stimmt die Gleichung aus dem Skript überhaupt ?
>
Mit Umformung habe mich falsch ausgedrückt.
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 17.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> ich habe folgendes Problem und komm leider nicht zur
> Lösung.
> Es werden am Anfang des ersten Jahres
> 98,95€ eingezahlt, nach jedem Jahr werden 6,75€ Zinsen
> ausgezahlt. Nach fünf Jahren werden zusätzlich noch
> 100€ ausgezahlt.
> Wie berechne ich hier den Barwert? Im Skript steht dazu
> folgendes:
>
> 98,95 = 6,75q + [mm]6,75q^2+ 6,75q^3[/mm] + [mm]6,75q^4[/mm] + [mm]106,75q^5[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht, welchen Trick ich anwenden damit
> ich q ausrechnen kann. Es sollte q=1,07 sein. Nur wie komme
> ich dahin?
1) Obige Gleichung ist mit einem q von 1,07 nicht zu erfüllen, dann allein der letzte Termin mit den 106,75 schon größer als die linke Seite wäre.
2) Nimmst Du statt q in der obigen GLeichung 1/q dann paßt es.
3) Davon abgesehen kannst Du von folgendem Modell ausgehen:
Über ein Zeitintervall [0,T] werden Zahlungen getätigt, und zwar sowohl positve (fließen einem zu) als auch negative (fließen einem ab). Das Zeitintervall sei in n gleiche Perioden T/n zerlegt und zu den Zeitpunkten [mm] t_i=i*T/n [/mm] mit i=0,...,n werden die Zahlungen getätigt. Außerdem herrsche über die Laufzeit ein konstanter Zins von p.
Dann hat die erste Zahlung [mm] a_0 [/mm] einen Barwert von [mm] a_0, [/mm] denn Sie wird ja jetzt getätigt. die Zahlung [mm] a_1 [/mm] hat einen Barwert von [mm] a_1/(1+p), [/mm] denn man müßte diesen Betrag heute anlegen, um die Zahlung von [mm] a_1 [/mm] nach einer Periode tätigen zu können.
Ergänzt man die Zahlungsreihe formal um eine Zahlung BW (Barwert) bei t=0 und ZW (Zeitwert) bei t=T, so hat man die Gleichung (q:=1+p)
BW + [mm] \summe_{i=0}^n a_i/q^i [/mm] + [mm] ZW/q^n [/mm] =0
oder auch alternativ nach Multiplikation mit [mm] q^n
[/mm]
[mm] BW*q^n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^n a_i q^{n-i} [/mm] + ZW=0
betrachten.
Für den Fall, dass die [mm] a_i [/mm] gleich einer regelmäßigen Zahlung Rmz sind, kann man den Zinssatz mit der Excel-Funktion
ZINS
berechnen.
LG
gfm
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Entschuldigung beim editieren sind die Brüche rausgeflogen :-(
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