Zins bei variablen Zahlungen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 04.01.2005 | | Autor: | Arnix |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Excel-Center (in ähnlicher Formulierung)
Hallo,
folgende Situation:
Ich möchte für verschiedene Anlageprodukte aus gegebenen Faktoren (Einzahlungen, Laufzeit, Auszahlungen) den jährlichen Zinssatz errechnen.
Bei Anlagen mit einer einzigen Einlage am Anfang der Laufzeit ist das ja sehr leicht, ebenso habe ich mittlerweile gute Formeln gefunden, um Zinssätze von Sparplänen mit festen Laufzeiten zu berechnen.
Nun aber mein Problem:
Ich will bei Fonds den Zinssatz berechnen, in welche regelmäßige Einzahlungen erfolgten, seit längerem aber die Einzahlungen gestoppt sind. Die Formeln Zinssatzberechnung bei Sparplänen greifen hier nicht, da diese immer perioische Einzahlungen bis zum ende der Laufzeit voraussetzen.
Ich hatte zuerst den Lösungsansatz, bis zum Beginn des Einzahlungsstopps den Zinssatz über die Berechnug bei Sparplänen zu ermitteln, ab dann eine zweite Berechnung durchzuführen, die das nun insgesamt vorhandene Kapital wie eine Einmaleinzahlung behandelt. Da ich den Wert des Fonds beim Sparstopp habe, war diese Methode auch kein Problem, nur aus den beiden Teilzinssätzen konnte ich keinen durchschnittlichen Zinssatz ermitteln (Zumindest stimmte der dann nicht annährend mit dem Zinssatz überein, den ich mittels Zinsrechnern errechnet hatte).
Der zweite Lösungsanatz besteht darin, die Laufzeiten jeder einzelnen Rate zu ermitteln. Wenn der Fond insgesamt z.b. 400 Tage läuft, hat die erste Rate ja eine Verzinsung über 400 Tage, die zweite dann über 370 usw. Dann habe ich diese ganzen Tage addiert und die gegeben Zinsen (Endkapital-Summe der Einzahlungen) durch diese Anzahl geteilt. Der Wert so eines einzelnen Zinstages mit 360 Tagen multipliziert ergab dann die Zinsen einer Rate pro Jahr.
Mit dieser Methode kann ich den Zinssatz schon sehr genau ermitteln, aber im Vergleich mit dem, was der Zinsrechner sagt, gibt es noch Unterschiede im Nachkommabereich.
Nun meine Frage:
Wie rechnet ein Profi so etwas anständig mit einer allgemeingültigen Formel aus? Vorausgesetzt, dass ein Jahr 360 Tage und ein Monat 30 Tage hat? Wäre für Lösungen sehr dankbar, da ich schon seit Wochen daran rumdoktor!!
Danke und Grüße
Arnix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Arnix,
nur eine Idee, die vielleicht nicht zur richtigen Lösung führt.
Abgeleitet von der Formel für Berechnung des Endwerts einer konstanten nachschüssigen Rente bei konstanter einfacher Verzinsung:
[mm] K_n [/mm] = R*n(1+[mm]\bruch{n-1}{2}[/mm]i)
Da dieser Endwert noch einige Zeit ohne weitere Ratenzahlungen zur Verzinsung steht, mit (1+i*n) multiplizieren.
Nach i Auflösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Arnix |
Hallo Josef,
vielen Dank für deine Bemühungen. Leider ist mein Mathe seit der Schule etwas eingerostet. Es würde sicherlich Tage dauern, bis ich die Formeln zusammengeführt und nach i augelöst hätte.
Könntest Du mir den Gefallen tun, mir das vorzuführen? Ich nehme an, Kn ist das kummulierte Kapital und n die Laufzeit. Aber die Laufzeit in Jahren oder in Perioden, in denen die Raten gezahlt werden?
Danke vorab!
Arnix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Arnix,
Ich
> nehme an, Kn ist das kummulierte Kapital und n die
> Laufzeit.
Stimmt!
Aber die Laufzeit in Jahren oder in Perioden, in
> denen die Raten gezahlt werden?
>
Beispiel:
Ein Sparer legt monatlich 100 Euro über 7 Jahre im Rahmen eines Sparplans mit einfacher Verzinsung und Zinssatz 6,2 % p.a. an. Unterjährlich wird der linear proportionale Zinssatz angewendet. Wie groß ist das Endkapital?
Lösung:
Der Sparplan erstreckt sich über n = 7*12 = 84 Monate. Werden die 100 Euro jeweils am Monatsende eingezahlt, so gilt:
[mm] K_{84} [/mm] = 100*84(1+[mm]\bruch{84-1}{2}[/mm]*[mm]\bruch{0,062}{12})[/mm]=10.201,10
Dieser Betrag steht dem Sparer also nach 7 Jahren (unmittelbar nach Einzahlung seiner letzten Rate) zur Verfügung.
Statt monatliche Berechnung kannst du auch tägliche Berechnung vornehmen. Entsprechend Tage und 360 einsetzen.
[mm] K_n [/mm] = R*n*(1+[mm]\bruch{n-1}{2}*i[/mm])*(1+i*n)
[mm] K_n [/mm] = Rn+([mm]\bruch{Rn(n-1)}{2}*i)[/mm]*(1+in)
[mm] K_n [/mm] = Rn+([mm]\bruch{Rn(n-1)}{2}i[/mm])+([mm]\bruch{Rn(n-1)}{2}i^2n[/mm]) | *2
[mm] 2k_n [/mm] = 2Rn+(Rn(n-1))i + [mm] (Rn(n-1))i^{2}n [/mm] | -2Rn
[mm] 2K_n-2Rn [/mm] = (Rn(n-1))i + [mm] (Rn(n-2))i^{2}n [/mm] | : (Rn(n-1))
[mm]\bruch{2K_{n} - 2Rn}{Rn(n-2)}[/mm] = [mm] i+i^{2}n
[/mm]
Zinssatzermittlung:
Schwierig gestaltet sich die Berechnung von Zinssätzen, weil die Gleichung nach i nicht aufgelöst werden kann. In diesem Fall ist man auf Näherungsverfahren angewiesen. Hierzu bietet sich das umfangreiche Newtonverfahren an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Arnix |
@ Josef
Danke für deine Mühe. Das Newtonverfahren zur Annäherung übersteigt dann wohl meine Fertigkeiten. Ich werde aber mit deinen Informationen sicher einiges anfangen können.
Danke dafür und schöne Grüße
Arnix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Do 06.01.2005 | | Autor: | Josef |
Die Umstellung nach i mit den allgemeinen Variablen ist falsch.
Zur besseren Übersicht nehme ich Zahlen.
Aufgabe:
Ein Sparer legt monatlich 100 Euro über 7 Jahre im Rahmen eines Sparplans mit einfacher Verzinsung und Zinssatz 6,2 % p.a. an. Unterjährlich wird der linear proportionale Zinssatz angewendet. Nach dem 7. Jahr bleibt das Kapital noch 2 Jahre stehen. Wie groß ist das Endkapital?
100*84(1+[mm]\bruch{84-1}{2}[/mm]*[mm]\bruch{i}{12}[/mm])*(1+i*2) = 11.466,04
(8400+29.050i)(1+2i) = 11.466
[mm] 8400+29.050i+16800i+58100i^2 [/mm] = 11.466
[mm] 45.850i+58.100i^2 [/mm] = 3066
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 08.01.2005 | | Autor: | waldixx |
Hallo Arnix,
> folgende Situation:
>
> Ich möchte für verschiedene Anlageprodukte aus gegebenen
> Faktoren (Einzahlungen, Laufzeit, Auszahlungen) den
> jährlichen Zinssatz errechnen.
>
> Bei Anlagen mit einer einzigen Einlage am Anfang der
> Laufzeit ist das ja sehr leicht, ebenso habe ich
> mittlerweile gute Formeln gefunden, um Zinssätze von
> Sparplänen mit festen Laufzeiten zu berechnen.
>
> Nun aber mein Problem:
>
> Ich will bei Fonds den Zinssatz berechnen, in welche
> regelmäßige Einzahlungen erfolgten, seit längerem aber die
> Einzahlungen gestoppt sind. Die Formeln Zinssatzberechnung
> bei Sparplänen greifen hier nicht, da diese immer
> perioische Einzahlungen bis zum ende der Laufzeit
> voraussetzen.
>
> Ich hatte zuerst den Lösungsansatz, bis zum Beginn des
> Einzahlungsstopps den Zinssatz über die Berechnug bei
> Sparplänen zu ermitteln, ab dann eine zweite Berechnung
> durchzuführen, die das nun insgesamt vorhandene Kapital wie
> eine Einmaleinzahlung behandelt. Da ich den Wert des Fonds
> beim Sparstopp habe, war diese Methode auch kein Problem,
> nur aus den beiden Teilzinssätzen konnte ich keinen
> durchschnittlichen Zinssatz ermitteln (Zumindest stimmte
> der dann nicht annährend mit dem Zinssatz überein, den ich
> mittels Zinsrechnern errechnet hatte).
Warum nicht? Wie hast Du es den probiert?
Letztlich gibt es für diese Berechnung verschiedene Verfahren, die einfach einzusetzen sind. Kommt es Dir auf den reinen Zins unabhängig vom Kapital an (Qualität der Anlage bzw. des Fonds), wähle die Zeit-gewichtete Rendite, ansonsten die Geld-gewichtete (Ergebnis der eigenen Anlage). Verfahren sind leicht im Internet zu finden (englich time-/money-weighted).
>
> Der zweite Lösungsanatz besteht darin, die Laufzeiten jeder
> einzelnen Rate zu ermitteln. Wenn der Fond insgesamt z.b.
> 400 Tage läuft, hat die erste Rate ja eine Verzinsung über
> 400 Tage, die zweite dann über 370 usw. Dann habe ich diese
> ganzen Tage addiert und die gegeben Zinsen
> (Endkapital-Summe der Einzahlungen) durch diese Anzahl
> geteilt. Der Wert so eines einzelnen Zinstages mit 360
> Tagen multipliziert ergab dann die Zinsen einer Rate pro
> Jahr.
Sieht Deine Formel wie unten angegeben aus? Dann sollte die Differenz höchstens aus unterschiedlichen Zinstagen kommen. Vielleicht rechnen die "Taggenau" und nicht "30/360" wie Du.
>
> Mit dieser Methode kann ich den Zinssatz schon sehr genau
> ermitteln, aber im Vergleich mit dem, was der Zinsrechner
> sagt, gibt es noch Unterschiede im Nachkommabereich.
>
> Nun meine Frage:
>
> Wie rechnet ein Profi so etwas anständig mit einer
> allgemeingültigen Formel aus? Vorausgesetzt, dass ein Jahr
> 360 Tage und ein Monat 30 Tage hat? Wäre für Lösungen sehr
> dankbar, da ich schon seit Wochen daran rumdoktor!!
Zunächst als Antwort siehe oben.
Per Hand bist Du mit Excel jedoch auch sehr leicht dazu in der Lage, in dem Du die einzelnen Einzahlungen untereinander einträgst, mit dem entsprechende Zeitpunkt (Tage bis zum Ende reichen auch). Nun gibtst Du noch in ein Feld den geschätzten Zins ein. Hinter jede Einzahlung berechnest Du nun die Zinsen in Abhängigkeit des oberen Feldes mit der Formel:
Zinsen = Einzahlung * (1 + [mm] Zins)^{\bruch{Tage}{360}} [/mm]
Die ganzen Zinsen summierst Du auf und addierst diese zu den EInzahlungen. Nun vergleichst Du diese Summe mit dem Wert Deiner Fondsanteile. Ist der Wert zu niedrig, erhöhst Du den Zins, ist er zu hoch, senkst Du den Zins. So tastest Du Dich an den "richtigen" Zins ran. Diese Arbeit kann leicht durch ein Makro erledigt werden.
Ich hoffe, damit kommst Du in schon in Std zu Deiner Lösung.
Tschö, Waldixx
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